25. ТЕНЗОР ЭНЕРГИИ — ИМПУЛЬСА МАТЕРИИ

Пусть задано распределение материи, скорость которой непрерывно меняется от точки к точке. Если обозначить координаты элемента материи, то можно ввести вектор скорости который, подобно полевым величинам, будет непрерывной функцией координат точки. Вектор скорсти обладает следующими свойствами:

Отсюда

Можно ввести скалярное поле таким образом, чтобы векторное поле определяло плотность и поток материи так же, как определяет плотность и поток электрического заряда; другими словами, чтобы являлось

плотностью, потоком. Необходимое условие для сохранения материи:

или

В рассматриваемом случае плотность и поток энергии материи будут иметь вид соответственно, плотность и поток импульса — Положим

Тогда содержит плотность и поток энергии и импульса. Эту величину называют тензором энергии — импульса материи. Тензор, разумеется, симметричен.

Можно ли в качестве материального члена в правой части уравнений Эйнштейна (24.6) использовать Для этого требуется, чтобы выполнялось равенство Из (25.4) имеем

Первый член в правой части обращается в нуль в силу закона сохранения массы (25.3). Второй член исчезает, если материя движется по геодезическим, поскольку в случае, когда вместо того, чтобы быть заданной только на мировой линии, определена как непрерывная полевая функция, имеем

Тогда (8.3) приобретает вид

или

Теперь видно, что тензор энергии — импульса материи (25.4) с соответствующим численным множителем можно подставить в уравнения Эйнштейна (24.4). Получим

Определим теперь значение коэффициента Перейдем, следуя методу, изложенному в разд. 16, к ньютонову приближению. Заметим прежде, что сворачивая (25.6), имеем

Тогда (25.6) можно записать в виде

В приближении слабого поля, в соответствии с (16.4), получаем

Рассмотрим статическое поле и статическое распределение материи. В этом случае Полагая и пренебрегая членами второго порядка малости, находим

или с учетом (16.6)

Для того чтобы это совпало с уравнением Пуассона, нужно взять

Таким образом, уравнения Эйнштейна в присутствии движущейся материи имеют вид

Тогда задаваемое (25.4), совпадает с из уравнения (24.6)

Условие сохранения массы (25.3) дает

следовательно,

Это условие фиксирует закон изменения вдоль мировой линии элемента материи. При переходе от мировой линии некоторого элемента к мировой линии соседнего элемента условие (25.8) допускает произвольное изменение Значит, можно выбрать обращающимся в нуль везде, кроме семейства мировых линий, образующих трубку в пространстве — времени. Такое семейство описывало бы частицу конечных размеров. Вне частицы следовательно, применимы уравнения Эйнштейна для пустого пространства.

Заметим, что если принять общий вид полевых уравнений (25.7), то из них можно вывести два следствия: сохранение массы и движение материи по геодезическим. Вспомним для этого, что обращается в нуль вследствие тождества Бианки, откуда имеем

или

Умножим это уравнение на Второй член даст нуль, что следует из (25.2), и останется а это как раз

совпадает с условием сохранения (25.3). Теперь уравнение (25.9) сводится к равенству к уравнению геодезической. Таким образом, нет необходимости делать предположение о том, что частица движется по геодезической. Для малой частицы движение вдоль геодезической обеспечивается применимостью уравнений Эйнштейна для пустого пространства в области вокруг частицы.