4. НЕТЕНЗОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Существуют величины с различными верхними и нижними индексами, которые не являются тензорами. При преобразованиях координат тензорная величина должна преобразовываться по закону вида (3.6). В противном случае эта величина — не тензор. Тензор обладает тем свойством, что если все его компоненты обращаются в нуль в одной системе координат, то они равны нулю и в любой другой. Для нетензоров это не обязательно так.

Поднимать и опускать индексы нетензорных величин можно по тем же правилам, что и для тензоров. Так,

Эти правила фактически никак не связаны с законами преобразования к новой системе координат. При определении нетензорных величин с тем же успехом можно не делать различия между верхними и нижними индексами.

Тензоры и нетензоры могут стоять вместе в одном уравнении. Балас индексов понимают для нетензоров так же, как для тензоров.

Теорема о частном. Пусть величина такова, что является тензором для любого вектора . В этом случае тензор.

Чтобы доказать это, введем По условию есть тензор, поэтому

Тогда

Так как вектор, из (3.2) имеем:

Таким образом,

Это равенство должно выполняться для всех значений следовательно,

Видно, что тензор.

Теорема остается справедливой для величины с произвольным числом нижних и верхних индексов.