ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

1. После удара о поверхность Земли мяч движется вертикально вверх со скоростью Найдите координату мяча над поверхностью Земли через 1 с и через 2 с после начала движения. Дайте объяснение полученному результату.

Решение

Координата тела при равноускоренном прямолинейном движении определяется по формуле

Координатную ось направим по вертикали вверх, начало отсчета находится на поверхности Земли. Тогда

Так как направление вектора начальной скорости совпадает с направлением оси а направление вектора противоположно направлению оси то проекция начальной скорости положительна, а ускорения отрицательна: ,

Тогда

Через 1 с и через 2 с после начала движения мяч находится в одной и той же точке пространства. В момент времени с он проходит через эту точку во время движения вверх, в момент времени с — во время движения вниз.

2. Лодка движется перпендикулярно берегу реки. Ее скорость относительно воды равна Определите время движения лодки к другому берегу, если ширина реки а скорость течения

Решение

Для нахождения времени движения лодки через реку необходимо найти скорость лодки относительно берега. Скорость из лодки относительно берега равна сумме векторов (скорости течения воды) и (скорости лодки относительно воды):

Вектор из скорости лодки относительно берега перпендикулярен вектору 14 скорости течения реки. В векторном треугольнике (рис. 73) они являются катетами, а вектор гипотенузой. Модуль вектора из из этого треугольника равен

Время движения лодки от одного берега к другому равно

3. Человек массой 60 кг катается на карусели. Найдите значение силы упругости, действующей на человека при его движении в горизонтальной плоскости со скоростью по окружности радиусом

Решение

Движение человека по окружности, лежащей в горизонтальной плоскости, происходит действием равнодействующей сил тяжести и упругости Вектор лежит в горизонтальной плоскости и направлен к центру окружности (рис. 74).

По второму закону Ньютона модуль равнодействующей равен

Так как вектор перпендикулярен вектору то вектор ляется гипотенузой в прямоугольном треугольнике с катетами 1 и Модуль вектора силы упругости равен

4. Велосипедист массой 80 кг движется со скоростью вогнутому мосту, траектория его движения является дугой окруж ности радиусом Определите силу упругости, действующук на велосипедиста в нижней точке моста.

Решение

Движение велосипедиста по дуге окружности является движением с центростремительным уско рением а, равным по модулю

В нижней точке моста вектор центростремительного ускоренш направлен вертикально вверх. Это ускорение по второму закону Ньютона определяется равнодействующей векторов силы тяжеста направленной вертикально вниз, и силы упругости действующей со стороны моста и направленной вертикально вверз (рис. 75):

Направим ось вертикально вверх и запишем это уравнение в проекциях на эту ось

Проекции векторов и а на эту ось положительны, а проекция вектора отрицательна, поэтому уравнение для модулей сил имеет вид

Отсюда получаем формулу для вычисления модуля силы упругости

5. Труба массой 100 кг лежит на двух горизонтальных опорах. Длина трубы одна опора находится у конца трубы, вторая — на расстоянии от второго конца трубы. Определите силы реакции опор.

Решение

Изобразим все действующие на трубу силы (рис. 76). Сила тяжести направлена вертикально вниз и приложена к центру масс трубы, находящемуся на равных расстояниях от концов трубы. Силы реакции о пор направлены вертикально вверх. Так как труба не движется поступательно, геометрическая сумма векторов сил, действующих на трубу, равна нулю:

Направим ось вертикально вверх. Тогда для проекций сил на эту ось имеем равенство

а для модулей —

Так как труба не вращается, алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на нее, равна нулю для любой оси вращения. Выберем в качестве оси вращения горизонтальную прямую, проходящую через центр масс трубы перпендикулярно плоскости чертежа. На основании правила моментов запишем равенство

Так как вектор силы тяжести проходит через ось вращения момент этой силы равен нулю. Вектор силы реакции опоры создает вращение против часовой стрелки, поэтому вращательный момент этой силы взят с отрицательным знаком. Таким образом, для решения задачи мы получили систему из двух уравнений

Решаем эту систему:

По условию задачи поэтому

6. Тепловоз массой приближается со скоростью к неподвижному составу массой 1170 т. С какой скоростью будет двигаться состав после сцепления с тепловозом?

Решение

По закону сохранения импульса проекции вектора полного импульса системы из тепловоза и состава на ось координат, направленную по вектору скорости, до сцепления и после сцепления одинаковы:

Так как состав был неподвижным, векторы скорости тепловоза до сцепления и скорости тепловоза вместе с составом после сцепления параллельны и проекции векторов и из можно заменить их модулями:

отсюда скорость тепловоза и состава после сцепления равна

7. Человек массой 70 кг спускается по лестнице длиной расположенной под углом 30° к горизонтальной плоскости. Найдите работу силы тяжести.

Решение

Работа силы тяжести равна произведению модуля вектора силы на модуль вектора перемещения и косинус угла а между вектором силы и вектором перемещения:

Угол а равен 60°, поэтому работа равна

8. Вычислите работу силы упругости при изменении деформации пружины жесткостью от см до см.

Решение

По закону Гука проекция вектора силы упругости на ось направленную по вектору перемещения конца пружины при ее деформации, равна

Так как сила упругости изменяется пропорционально деформации, то для вычисления работы можно найти среднее значение ее проекции при изменении деформации пружины от 2 см до 6 см:

Работа силы упругости равна произведению модуля среднего значения силы на модуль перемещения и косинус угла между этими векторами:

При растяжении пружины вектор силы упругости направлен противоположно вектору перемещения, поэтому угол а между ними равен 180°, Тогда работа силы упругости будет равна

Работа силы упругости может быть найдена и по изменению потенциальной энергии пружины:

9. Кран поднимает груз массой на высоту за 2 мин. Найдите механическую мощность. Силами трения пренебречь.

Решение

Механическая мощность равна

Механическая работа А внешних сил при подъеме груза равна изменению его потенциальной энергии:

Поэтому механическая мощность равна

10. Самолет имеет четыре двигателя, сила тяги каждого Какова полезная мощность двигателей при полете самолета со скоростью

Решение

Полезная мощность двигателей равна отношению механической работы А ко времени

Механическая работа при совпадении направлений вектора силы Р и перемещения равна

Отсюда для механической мощности имеем

Так как при равномерном прямолинейном движении

кВт.

11. На высоте от поверхности Земли мяч имел скорость . С какой скоростью будет двигаться мяч у поверхности Земли? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения принять равным

Решение

Хотя в условии задачи не указаны направление вектора скорости мяча и масса мяча, задача имеет однозначное решение.

Так как на мяч действует только сила тяготения со стороны Земли, к замкнутой системе «Земля — мяч» применим закон сохранения механической энергии.

Согласно этому закону полная механическая энергия системы «Земля — мяч» остается неизменной, а изменение кинетической энергии мяча равно изменению его потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком:

Обозначим массу мяча получим

Разделим обе части равенства на и умножим на 2:

Отсюда скорость мяча у поверхности Земли равна

12. Крупнейшая в мире Саяно-Шушеиская гидроэлектростанция будет вырабатывать 23,5 млрд. кВт-ч электроэнергии в год. Сколько воды должно проходить за год через гидротурбины станции? Высота плотины — Считать, что потенциальная энергия воды полностью превращается в электрическую энергию.

Решение

По закону сохранения энергии электроэнергия, вырабатываемая гидроэлектростанцией, получается за счет превращения кинетической энергии движущейся воды в энергию электрического тока. Кинетическая энергия воды в свою очередь получается в результате превращения потенциальной энергии воды у вершины плотины в кинетическую у основания плотины. Если не учитывать потери, то вся выработанная гидроэлектростанцией электроэнергия Е равна изменению потенциальной энергии воды, прошедшей через гидроагрегаты станции, взятому с противоположным знаком:

Массу воды выразим через ее объем V и плотность

Из равенств (1) и (2) найдем выражение для объема воды, прошедшей через гидроагрегаты станции:

13. Определите минимальное значение тормозного пути автомобиля, начавшего торможение на горизонтальном участке шоссе при скорости движения Коэффициент трения равен 0,5.

Решение

Тормозной путь автомобиля будет иметь минимальное значение при максимальном значении силы трения. Модуль максимального значения силы трения равен

Вектор силы трения при торможении направлен противоположно векторам скорости и перемещения

При прямолинейном равноускоренном движении проекция перемещения автомобиля на ось, параллельную вектору скорости автомобиля, равна

Переходя к модулям величин, получаем уравнение

Значение времени можно найти из условия

Тогда для модуля перемещения получаем

(Модуль перемещения можно найти и с помощью выражения 2.10.)

Так как

то

Тот же результат можно получить на основе использования теоремы о кинетической энергии:

Так как вектор силы трения направлен противоположно вектору перемещения, угол а равен 180°, Поэтому

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

(см. скан)