ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

136. Длина маятника, демонстрирующего вращение Земли в Исаакиевском соборе в Ленинграде, равна 98 м. Определите период его свободных колебаний.

Решение

Так как амплитуда колебаний маятника и размеры тела на подвесе малы по сравнению с длиной подвеса, его колебания можно считать гармоническими и для описания колебаний применить формулу периода колебаний математического маятника:

137. При подвешивании груза массой 1 кг стальная пружина в положении равновесия удлинилась на 1 см. С каким периодом будет совершать колебания этот груз на пружине после смещения его по вертикали из положения равновесия?

Решение

Под действием силы упругости пружины тело массой совершает гармонические колебания с периодом, определяемым по формуле

где — жесткость пружины.

Жесткость пружины можно найти по ее удлинению под действием силы тяжести груза массой т. По закону Гука

Для модуля силы упругости в положении равновесия выполняется равенство

следовательно,

Подставляем полученное выражение в формулу для вычисления периода колебаний:

Мы получили, что для решения задачи достаточно было знать только удлинение пружины в положении равновесия, так как масса тела не входит в окончательную расчетную формулу.

138. Какую электроемкость должен иметь конденсатор для того, чтобы состоящий из этого конденсатора и катушки индуктивностью 10 мГн колебательный контур радиоприемника был настроен на волну 1000 м?

Решение

Для настройки приемника на заданную волну частота собственных колебаний в контуре должна быть равной частоте колебаний в принимаемой волне. Частота собственных колебаний в контуре определяется из формулы Томсона:

Частота колебаний связана с длиной волны X и скоростью ее распространения формулой

Отсюда для вычисления электроемкости конденсатора получаем выражение

Скорость распространения радиоволн равна примерно поэтому получаем

139. Человек находится на расстоянии от плоского зеркала. На сколько изменится расстояние между человеком и его изображением, если человек приблизится к зеркалу на

Решение

Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на расстоянии, равном расстоянию от предмета до зеркала. При приближении человека к зеркалу на изображение приближается к зеркалу также на а расстояние между человеком и его изображением уменьшается на

140. При наблюдении через дифракционную решетку красный край спектра виден на расстоянии 3,5 см от середины щели в экране. Расстояние от дифракционной решетки до экрана — 50 см, период решетки — мм. Определите длину волны красного света.

Решение

Запишем условие первого максимума:

Так как угол очень мал, справедливо равенство

Тогда для определения длины волны получим выражение

141. На экран А (рис. 291) от точечного источника, находящегося от него на большом расстоянии, падает свет с длиной волны 560 нм. В экране имеются две параллельные щели на расстоянии одна от другой. Определите расстояние между двумя соседними полосами интерференционных максимумов, наблюдаемых на экране В, расположенном параллельно экрану А на расстоянии от него.

Решение

В произвольной точке С экрана В (см. рис. 291) будет наблюдаться интерференционный максимум при выполнении условия

Из рисунка видно, что

Отсюда следует, что

В случае, когда можно считать справедливым приближенное равенство

Тогда

Приравнивая два выражения для разности получаем откуда

Искомое расстояние между соседними интерференционными полосами найдем так:

Подставляя значения величин, получаем

142. Лампа находится на расстоянии от экрана. На каком расстоянии от лампы нужно поставить собирающую линзу с фокусным расстоянием для того чтобы получить на экране увеличенное изображение лампы?

Решение

В формулу линзы подставим

Получению увеличенного изображения соответствует значение

143. На каком расстоянии от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см нужно поставить предмет, для того чтобы получить действительное изображение с увеличением в 10 раз?

Решение

Увеличение Г равно отсюда следовательно,

Воспользуемся формулой тонкой линзы:

144. На рисуике 292 показана главная оптическая ось линзы Линза дает изображение точки А в точке В. Найдите построением хода лучей положение оптического центра линзы и ее главных фокусов.

Решение

При прохождении через линзу один из всех лучей, выходящих из точки А, попадает в точку В по прямой без изменения направления распространения. Это луч, проходящий через оптический центр линзы. Следовательно, оптический центр лежит на главной оптической оси и на прямой поэтому точка О пересечения прямой и главной оптической оси и является оптическим центром линзы О (рис. 293).

Чтобы найти положение главных фокусов линзы, проведем через точку О прямую, перпендикулярную главной оптической оси и етмечающую положение линзы. Так как предмет и его изображение находятся по разные стороны от линзы, изображение действительное. Следовательно, линза собирающая.

Для нахождения положения главного фокуса собирающей линзы выберем луч, идущий из точки А параллельно главной оптической оси. Этот луч после преломления в линзе попадает в точку В, как и все остальные лучи, выходящие из точки А. Вместе с тем луч, параллельный главной оптической оси, при выходе из линзы проходит через ее главный фокус, лежащий на главной оптической оси. Следовательно, точка пересечения этого луча с главной оптической осью является главным фокусом линзы. Второй главный фокус расположен на главной оптической оси по другую сторону от оптического центра на таком же расстоянии, как и первый.

145. Найдите построением хода лучей изображение точки А, лежащей на главной оптической оси собирающей линзы. Положение главных фокусов линзы указано на рисунке 294.

Решение

Для нахождения изображения точки А выберем произвольно направленный луч Чтобы найти направление его распространения после прохождения линзы, проведем через оптический центр линзы побочную ось, параллельную лучу (рис. 295). Лучи, параллельные побочной оси, собираются в одну точку, находящуюся в фокальной плоскости линзы. Отметим на рисунке положение этой плоскости прямой

Луч после преломления в линзе проходит через точку С пересечения побочной оси с фокальной плоскостью. Прямая, проходящая через точки В и С, отмечает направление распространения луча после преломления в линзе. Точка пересечения луча с главной оптической осью и является изображением точки А.

146. Определите оптическую силу системы из двух тонких линз с оптической силой

Решение

Представим себе, что точечный источник света помещается в главном фокусе первой линзы. Если вторая линза расположена вплотную к первой, то параллельный пучок света, выходящий из первой линзы, собирается в главном фокусе второй линзы.

Применяя формулу линзы для системы из двух линз, получаем:

где — фокусное расстояние системы из двух линз.

Так как в данном случае то

Мы получили, что оптическая сила системы из двух тонких линз равна сумме оптических сил зтих линз.

147. Расстояние от оптического центра глаза до сетчатки 18,3 мм. Человек пользуется очками с оптической силой для чтения газеты на расстоянии 25 см. На каком расстоянии от глаз он вынужден держать газету для чтения без очков? Оптическая сила нормального глаза 58,5 дптр.

Решение

Расстояние до предмета связано с расстоянием до изображения и фокусным расстоянием или оптической силой формулой линзы:

Из формулы линзы получаем

Так как изображение в первом и втором случаях должно быть на сетчатке глаза, выполняется равенство

Оптическая сила глаза с очками равна оптической силе нормального глаза и равна сумме оптической силы глаза без очков и оптической силы линзы очков: Отсюда .

Расстояние до газеты получается равным

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

КВАНТОВАЯ ФИЗИКА

(см. скан)