Задачи управления

В типичной задаче управления имеется процесс, представленный системой «устанавливаемых» переменных, которые должны управляться с помощью соответствующего управления, обеспечиваемого некоторым множеством управляющих переменных.

Интересным примером служит задача о перевернутом маятнике на тележке (рис. 2.9). В этой задаче масса М прикреплена к концу стержня длины другой конец которого шарнирно закреплен на тележке, так что стержень может свободно вращаться в вертикальной плоскости, совпадающей с направлением движения тележки, снабженной колесами. Устанавливаемые переменные — угол наклона стержня 0, координата х тележки и производная по времени 0.

Рис. 2.9. Перевернутый Маятник на тележке.

Требуется, чтобы значения каждой из этих переменных поддерживались в определенных, заранее указанных границах. Управляющей переменной служит скорость тележки х, которая может принимать одно из двух значений и (Мы предполагаем для простоты, что эти значения могут сменять друг друга мгновенно.) Главная задача здесь состоит в принятии в данный момент решения о том, следует ли перемещать тележку со скоростью вправо или со скоростью влево.

Описание состояний. Предположив, что переменные 0, 0 и х принимают дискретные значения с достаточно мелким шагом, можно считать состоянием вектор, составленный из этих трех переменных (пространством состояний при этом служит решетка в трехмерном пространстве 0, 0 и

Операторы. Имеются ровно два оператора:

1. Применить управление

2. Применить управление

Состояние, возникающее в результате применения одного из этих операторов, — это просто то состояние, которое описывается вектором по истечении секунд. (Во многих типичных задачах управления действия операторов могут быть компактно представлены с помощью дифференциальных уравнений.)

Критерий достижения цели. Предположим, что целевое состояние описывается вектором Тогда нам нужно найти последовательность операторов, которая будет преобразовывать любое данное состояние в целое. Конечно, такая последовательность не должна приводить ни к какому состоянию, описываемому переменными и х, для которого неизбежно в конце концов полное нарушение работы системы. (Оно происходит при

В некоторых типичных задачах управления часто можно получить (аналитическими методами) уравнения разделяющих поверхностей, которые разбивают векторное пространство состояний на непересекающиеся области, такие, что для всех векторов из данной области в данный момент должно быть применено одно и то же управление (один и тот же оператор). В этих случаях несложное вычисление может дать ответ, который иначе получался бы с помощью поиска. Читатель должен понимать, что мы н? собираемся предлагать использовать поисковые процессы в случаях, когда известны прямые методы решения. Мы хотим лишь подчеркнуть, что часто можно воспользоваться эффективными методами перебора для решения тех задач, для которых прямые методы еще не найдены.