Совместные распределения порядковых статистик

Напомним, что из исходной совокупности выбиралась случайная выборка. Если бы мы захотели написать выражение для закона совместного распределения двух каких-либо членов этой выборки, например нам следовало бы просто перемножить их плотности, так как случайные величины (если с выборкой «все в порядке») независимы.

По-другому обстоит дело в упорядоченной выборке. Порядковые статистики оказываются статистически связанными случайными величинами и совместная плотность распределения любой пары из них не сводится к произведению плотностей. Совместная плотность порядковых статистик зависит от объема выборки, значений и исходного закона распределения

Отсюда можно найти и второй начальный смешанный момент, и ковариацию.

Все ли порядковые статистики связаны? Запишем плотность совместного распределения крайних в выборке объема

Нетрудно видеть, что если неограниченно увеличивать то разность будет приближаться к произведению Но если плотность совместного распределения двух случайных величин представляет собой произведение плотностей этих величин, то они статистически независимы. Таким образом, крайние члены вариационного ряда асимптотически независимы. Итак, при конечном все порядковые статистики связаны и, в отличие от элементов случайной выборки, несут информацию друг о друге. Каким образом и для каких целей можно использовать эту информацию, мы увидим ниже.

Сейчас посмотрим, как связаны элементы выборки объемом из равномерно распределенной совокупности (предыдущий пример, рис. 3).

Подсчитаем величину ковариации V между центральным и крайними элементами выборки, а затем между крайними.

Для равномерного закона ковариация определяется выражением

В нашем случае, когда имеем для центрального и крайнего элементов для двух крайних

С увеличением связь между крайними быстро затухает, так как и минимальный и максимальный члены приближаются к границам распределения.

В заключение напомним, что выделить из генеральной совокупности X порядковые статистики — новые случайные величины можно при помощи процедур случайного выбора (так мы образуем выборки объема и парных сравнений для ранжирования элементов выборки. Сами значения при этом могут оставаться неизвестными.