Оценки параметров нормального распределения по усеченным выборкам

Оценивание параметров нормального распределения по малым усеченным выборкам сочетает высокую эффективность и простоту вычислений. Будем рассматривать выборки, усеченные с двух сторон — на наименьших и наибольших членов. Для них оценки математического ожидания и среднеквадратического отклонения вычисляются по формулам:

и

Весовые коэффициенты определяются из выражений:

и

где математическое ожидание нормированной 1-й порядковой статистики, а

— среднее неусеченных.

Таким путем получаются несмещенные оценки 2: и а не только при несимметричном, но даже н при одностороннем усечении выборки, когда или

Для получения оценок (15) и (16) достаточно, как мы видим, знать только математическое ожидание порядковых статистик.

Коэффициенты растут от края ранжированной выборки к медианному (центральному) значению, которое и получает наибольший вес.

Эффективность оценки сравнивается с эффективностью оптимальной оценки и оказывается, как уже отмечалось, хуже. Проследим, как изменяется эффективность по мере отбрасывания крайних членов. Оказывается, что оценка мало чувствительна к присутствию крайних (их вес мал).

Так, если отброшены крайние и оценкой служит просто среднее из оставшихся (даже без вычисления ее

эффективность может достигнуть Если количество элементов в выборке и усечены все ее элементы, кроме центрального и соседнего с ним, оценкой служит центральное значение, соседнее можно не учитывать вовсе, а эффективность при этом составляет более Например, если при оставлены всего два наблюдения а остальные усечены, эффективность оценки остается равной 72 %. Но стоит потерять хотя бы одно из этих центральных наблюдений например), как эффективность падает за 60 %, даже если, с другой стороны, добавить все недостающие до полной выборки наблюдения.

Для оценки математического ожидания, таким образом, одно центральное наблюдение значит больше, чем половина выборки.

Оценка среднеквадратичного отклонения о ведет себя в этом смысле по-другому: при любом фиксированном эффективность убывает на одну и ту же величину при каждом шаге уменьшения Здесь усечения следует производить осторожно. Так, если при отбрасывать два наблюдения с одного края или по одному с противоположных, эффективность снижается до Отбрасывание третьего наблюдения (практически любого) снижает ее до а каждого «последующего — еще на 3 %.