Связь между значениями и их рангами

Если становится известным значение ранга то элемент выборки при этом условии становится порядковой статистикой с распределением

что совпадает с ранее полученным (5).

Рассмотрим некоторые количественные характеристики атой связи.

Выясним сначала, как ведут себя линии регрессии — условные математические ожидания значений и рангов. Они определяются уравнениями

и

Последнее выражение при равномерном распределении исходной совокупности принимает простой и уже знакомый

Рис. 5

нам вид: Это не что иное, как среднее порядковой статистики. Нанесем обе линии регрессии на один график (рис. 5). Они не совпадают, а ведь именно совпадение линий регрессии говорит, как известно, о функциональной зависимости между случайными величинами, образующими систему. Однако они и не перпендикулярны, что свидетельствовало бы о Некоррелированности величин

Обратим внимание на то обстоятельство, что с увеличением объема выборки угол между линиями неограниченно убывает, что говорит об усилении связи. Статистическая зависимость приближается к зависимости функциональной. Другая мера статистической связи — коэффициент корреляции, естественно, имеет ту же тенденцию — возрастать с увеличением но кроме того, он демонстрирует еще одно важное свойство зависимости между

Коэффициент корреляции между по определению равен

Преобразование этого выражения с учетом того, что распределение равномерно, приводит к

Произошла факторизация коэффициента корреляции. Один сомножитель зависит только от объема выборки и стремится к единице при второй же определяется лишь видом исходного распределения Замечательно то, что конструкция зависимости такова, что выполняется следующее равенство при любых а и а;

Это значит, что коэффициент корреляции между значением и рангом не зависит от параметров расположения и рассеяния этих случайных величин. Интуитивно это понятно. Действительно, «сдвинем» ранги, т. е. пронумеруем элементы выборки при не от 1 до 10, а от 11 до 20. Очевидно связь между значениями и их местами в ряду останется прежней. Выясним еще одно свойство связи между величинами вычислив количество информации,

которое они несут друг о друге. Преобразование общего выражения

где вероятность ранга приводит при к асимптотической формуле

Нетрудно видеть, что при неограниченном возрастании выборки количество информации в о X (и наоборот) также неограниченно растет, причем принимает одинаковые значения для всех непрерывных распределений, поскольку в (8) не входит.

Суммируем результаты. Итак, ранги и выборочные значения статистически связаны. С ростом объема выборки эта связь становится жестче, асимптотически переходя в однозначную функциональную зависимость, при которой одна величина полностью определяет другую. Зависимость между выборочными значениями и рангами не только не меняется, с параметрами сдвига и масштаба, но и свободна (при больших от вида распределения исходной, совокупности.

С выяснением этих свойств немедленно возникает вопрос: как можно и где нужно их использовать? Сейчас мы посмотрим, как можно пользоваться обнаруженной связью, а область применения ранговых процедур выясним позже.