3. ВЫБОРОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И РАНГИ

Обратим теперь внимание на «ранги» — числа, входящие в качестве индексов в обозначения элементов упорядоченной выборки. Совокупность этих индексов обладает интерес

ными вероятностными свойствами и, кроме того, может быть с пользой применена в практических целях.

Ранг, как уже было сказано, означает место элемента (или соответствующего ему значения) в ранжированной выборке. Наименьший элемент получает ранг наибольший Очевидно, что ранги — целые положительные числа. Покажем сейчас, следуя [8], менее очевидную вещь, то, что ранг представляет собой случайную величину, и продемонстрируем ее вероятностные свойства.

Пусть образуется выборка объема и из исходной совокупности извлекается очередной элемент, которому предстоит занять свое место в ранжированном ряду. Каков же будет его ранг? Очевидно, если значение присущее элементу, еще неизвестно или с другими элементами он не сравнивался, объективная возможность для него занять любое из мест в выборке одинакова. Это значит, что совокупность рангов — случайная «-мерная величина дискретна и распределена равновероятно так, что для всех

Часто совокупность рангов выборки называют ранговым вектором. Он также случаен, его реализации являются перестановками чисел число возможных реализаций равно

Ранжируя выборку, мы вместо исходной получаем пару вероятностных объектов — ранжированную выборку и вектор рангов состоящих с исходной выборкой в однозначном соответствии. Естественно, что по паре можно восстановить выборку Это значит, что упорядоченная выборка и вектор рангов содержат ту же информацию, что и исходная выборка.

Как упорядоченная выборка, так и вектор рангов описывают один и тот же объект — исходную выборку причем статистически независимы.

Совместное -мерное распределение непрерывной величины и дискретной представляет собой произведение распределений этих величин.

Это утверждение составляет содержание известной теоремы Гаека. Оно, на первый взгляд, противоречит интуитивному ощущению, что большее наблюдение должно получить в выборке и больший ранг. Дело в том, что выше мы говорили о рангах в предположении, что значения элементов выборки нам неизвестны. Как только появляется условие в виде значения или ранга наблюдения и их ранги становятся статистически связанными.