Закон распределения порядковой статистики

Выведем плотность распределения порядковой статистики при объеме выборки предполагая закон распределения исходной совокупности таким, что его интегральная функция и плотность и непрерывны почти всюду. Мы будем иметь дело со случайной величиной область определения которой совпадает с областью определения исходной случайной величины Действительно, если X

Рис. 2

ограничена, то не могут появиться значения (принадлежащие выборкам из X), выходящие за ее границы, и, наоборот, если X не ограничена, ничто не удержит каких-либо точных пределах.

Обратимся к рис. 2, на котором изображены функции и искомая плотность распределения порядковой статистики Индекс указывает объем выборки. На ось х нанесены значения принадлежащие некоторой конкретной выборке. Запишем элемент вероятности равный вероятности для порядковой статистики оказаться вблизи точки

Выразим эту же вероятность через исходный закон распределения, связав таким образом Будем считать, что процесс образования выборки процесс независимых испытаний, в которых «успехом» считается появление значения а «неуспехом» Очевидно, что вероятность успеха а неуспеха (рис. 2). Количество «успехов» равно «неуспехов» поскольку значение в выборке объема таково, что значений меньше и значений больше его.

Нетрудно видеть, что речь идет о процедуре подсчета вероятностей, сходной с той, которая приводит к биномиальному закону распределения.

Вероятность для исходной случайной величины принять значение, близкое к есть элемент вероятности

Вероятность расположения выборки вокруг значения так, что элементов ее окажутся слева, справа, а сама случайная величина X вблизи него и будет равной

Но именно эта вероятность и определяется выражением Поэтому, приравняв (1) и (2), получим

Если при переходе от плотности сохранить масштаб по оси х, то

Последнее выражение показывает, что плотность распределения порядковой статистики зависит от исходного распределения и ранга и изменяется с изменением объема выборки Формула (3) позволяет определить, в частности, как распределены значения крайних членов выборки, имеющих ранги

Крайний справа максимальный член имеет функцию распределения а минимальный Для примера продемонстрируем плотности порядковых статистик с рангами при объеме выборки из равномерно распределенной на отрезке [0, 11 совокупности (рис. 3). В соответствии с (3) при исходной плотности (и значит получаем распределение наименьшего члена

среднего члена

и максимального

Рис. 3

Эти плотности изображены на рис. 3. В полном согласии с интуитивными представлениями плотность центрального члена выборки симметрична относительно медианы исходного распределения, а плотности крайних ограничены тем же интервалом, что и и возрастают к соответствующей границе.

Продемонстрируем на этом же примере еще одно любопытное свойство распределений порядковых статистик. Сложим плотности и разделим результат на их число:

на отрезке [0, 1].

Сумма (нормированная) плотностей порядковых статистик оказалась равной исходной плотности Это значит, что генеральная совокупность X является смесью порядковых статистик Этого результата следовало ожидать. Выше мы уже упоминали, что, рассортировав исходную совокупность по рангам, мы могли бы, вновь смешав объекты с различными рангами, восстановить ее. Теперь мы убедились в этом на примере, но можно было бы привести и строгое доказательство этого свойства.