Ранговая корреляция

Наберем камешков из кучи щебня (камешки, как мы помним, пронумерованы), взвесим их, получив выборку значений и измерим наибольший линейный размер каждого, образовав выборку значений другой случайной величины максимального линейного размера. По физической сущности объекта ясно, что статистически связаны — более тяжелый образец в среднем и больший. Мерой связи выступает коэффициент корреляции

оценка которого может быть определена по выборкам

Мы выяснили, однако, что, упорядочив выборки и оперируя их рангами мы можем в принципе располагать той же информацией, что содержалась и в исходных выборках. Значит ли это, коэффициент корреляции между случайными величинами отразит степень зависимости

Да, дело обстоит именно так. Выясним только, что значит «упорядочим выборки Ранжировав и записав последовательность мы получим случайную перестановку значений вектора К. Попытавшись проделать эту процедуру с конца, мы придем к тому же: ранжированной станет выборка а последовательность значений превратится в случайную перестановку.

Поступим следующим образом. Поставим в обеих выборках на места соответствующие ранги получим две случайные перестановки и и вычислим коэффициент корреляции йежду ними — ранговый коэффициент корреляции Спирмена.

Коэффициент этот «устроен» обычно, сравним его с (9). Здесь выборочные значения случайных величин, среднее арифметическое рангов (первых чисел натурального ряда)

их дисперсия.

Есть смысл переписать (10) более компактно

Коэффициент носит имя психолога Спирмена, который ввел его для обнаружения связи между признаками, не имеющими количественного выражения. Если упорядочения по этим признакам - статистически связаны, коэффициент принимает положительные значения, когда большая выраженность одного признака соответствует

большему проявлению другого. В противном случае отрицателен. Так [9], если речь идет об успехах детей в учебе и спорте, можно составить два списка учащихся класса, в которых фамилии пойдут в порядке возрастания успеваемости в учебе и успехов в спорте. Возьмем за основу нумерацию, Данную первым списком. Номера во втором списке окажутся при этом рангами, которые ученики получают при упорядочении по второму признаку. Если между двумя признаками нет никакой зависимости, не будет никакой связи и между номерами в двух списках — в качестве второй нумерации равными шансами могла бы появиться любая.

Коэффициент Спирмена наиболее употребителен среди возможных ранговых мер статистической связи вследствие своей простоты, но он далеко не единственный. Применяются еще и «коэффициенты беспорядка» [5]. Пусть значения, рангов располагаются в натуральном порядке а соответствующие ранги К, образующие перестановку равны Естественный метод измерения беспорядка -рангов, т. е. отклонения от порядка состоит в подсчете числа инверсий между ними. Например, при в -ранжировке 3214 имеются три инверсии, а именно Число таких инверсий, обозначаемое может изменяться от О до Коэффициент беспорядка

заключен в пределах

Коэффициент можно «улучшить», если придавать инверсиям различный вес, например в ранжировке 24351 чувствуется, что инверсия 5—1 должна иметь больший вес, чем инверсия 4—3, поскольку она представляет собой более серьезное отклонение от натурального порядка Наиболее простой способ взвешивания — «измерение» расстояния между рангами, образующими инверсию; в приведенном только что примере это дало бы соответственна веса 4 и 1 двум инверсиям. Однако использование весов возвращает нас к коэффициенту Спирмена, основанному, как мы видим, на сумме квадратов этих весов.