Цензурирование выборок — общая идея

Среднее арифметическое выборки являясь оценкой среднего, имеет вид:

Понятно, что вычисление среднего арифметического ранжированной выборки дает тот же результат

Отбрасывание крайних членов выборки (наименьших и наибольших выразится в том, что в (12) суммирование будет производиться в пределах

что естественно, отразится на свойствах как оценки среднего.

Выражение (13) можно трактовать, как суммирование порядковых статистик с весами. Наименьшие и наибольшие статистики получили веса, равные нулю, а все остальные — единице. К такому цензурированию приводило основанное на интуиции отбрасывание крайних членов. Гораздо более гибким оказалось взвешивание всех слагаемых (12), приводящее к линейной операции над порядковыми статистиками, когда вычисляется оценка

Наборы коэффициентов характеризуют степень доверия к значениям но выбираются не произвольно, а в зависимости от критерия точности оценки, закона распределения совокупности X, объема выборки Укажем следуя некоторые свойства коэффициентов в зависимости от типов оценок

Во-впервых, часть коэффициентов принимает постоянные и равные значения, а остальные равны нулю. При этом часть порядковых статистик равномерно усредняется, а часть отбрасывается. Если отбрасываются крайние порядковые статистики, говорят что оценки получены по усеченным выборкам. Так могут быть получены выборочная медиана, среднее арифметическое трех или пяти порядковых статистик.

Известна простая и довольно точная оценка математического ожидания — среднее арифметическое двух «наилучших» порядковых статистик, симметрично расположенных относительно медианы:

где целая часть числа.

Оценка, усредняющая все наблюдения, кроме двух крайних в (13)), имеет вид:

Далее, коэффициенты могут быть постоянными и зависеть от номера положения наблюдения в вариационном ряду. Так, существует формула

Функция непрерывна и определена на отрезке Она определяется законом распределения и критерием оценивания. Так, для нормального закона и среднеквадратичного критерия точности При оценивании по усеченной выборке для оценка имеет вид:

Как отразилось усечение выборки на точности оценки? Дисперсия этой оценки равна , а оптимальная оценка по полной выборке имеет дисперсию, равную Таков проигрыш в точности. Выигрыш может быть получен в надежности результата и определяется тем, насколько справедливы сомнения относительно достоверности отброшенных крайних. Если эти сомнения несправедливы, проигрыш в точности ничем не компенсирован.

Отметим любопытный факт. Линейная по отношению к ранжированной выборке Операция порядковыми статистиками соответствует нелинейному преобразованию над исходной (неупорядоченной) выборкой

поскольку уже сама операция упорядочивания выборки нелинейна.