Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Распределения крайних значенийКрайние члены выборки представляют большой интерес, поскольку они зачастую играют в группе особую роль. Так, сколько бы раз мы ни растягивали цепь, разорвавшееся звено — крайнее слева в прочностном ряду звеньев. Забеги и заплывы на соревнованиях выделяют сильнейших, которые соревнуются между собой на следующих этапах соревнований. Есть такие экзотические виды спорта, где зачет идет по слабейшему члену команды и побеждает та, которая обзавелась «лучшим худшим». Рассмотрим вероятностные свойства крайних. Они оказываются весьма интересными. Если образована выборка объема
Напомним, что наибольшая наблюдаемая величина в выборке не фиксированное значение, а самостоятельная случайная величина. Свойства функции Рассуждения, аналогичные тем, что привели к (2), позволяют получить вероятность того, что наименьшее значение превзойдет
Выражения (6) и (7) определяют и функции плотности:
Если плотность исходной. совокупности симметрична, наибольшее и наименьшее значения распределены взаимно симметрично:
Закон распределения наибольшего значения (6) можно представить в виде При анализе экстремальных значений вводят новую характеристику крайних: период повторяемости. Если считать, что наблюдения проводятся через равные промежутки времени, число наблюдений приобретает размерность времени, а выражение
называется периодом повторяемости значения, большего или равного х. Период повторяемости представляет собой ожидаемое число наблюдений, после которых появится одно значение, превосходящее х. Функция
Период повторяемости неограниченно растет с ростом х. С периодом повторяемости связаны «характеристические» Наибольшее и наименьшее значения
Они представляют собой квантили исходного распределения
По определению ожидаемое число больших
Еще одна статистическая функция, важная для анализа экстремальных значений, называемая интенсивностью, определяется выражением
и для характеристических экстремальных значений равна
Эти величины называют экстремальными интенсивностями. С ростом Установлено, что существуют всего три типа асимптотических распределений крайних. Все возможные исходные распределения классифицируются по тому, к распределению какого типа принадлежат их крайние. К распределению первого типа приводят такие неограниченные исходные, у которых На рис. 4 изображены плотности распределения крайних членов из выборки с нормальным исходным распределением при
Таким образом, «раздвигание границ» выборочного распределения с возрастанием объема выборки происходит крайне медленно, пропорционально (это видно на рис. 4), хотя также очень медленно. Это дает возможность гарантировать с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, малость уклонений Как показал Б. В. Гнеденко, предельные распределения первого типа выражаются так называемым «двойным показательным законом»
и
если х нормирован и центрирован. Рис. 4 (см. скан) Дисперсия наибольшего значения при этом имеет простой вид:
где Экстремальная интенсивность с ростом К распределению крайних третьего типа приводят ограниченные исходные распределения. Если распределение ограничено справа, На рис. 3 изображены распределения крайних выборок Асимптотическое распределение имеет вид:
где Существуют распределения, ограниченные с одной стороны и не ограниченные с другой. Так, например, показательное распределение, распределение Рэлея ограничены слева, но не ограничены справа. В выборках из таких исходных совокупностей распределение максимальных значений будет относиться к первому асимптотическому типу, а минимальных — к третьему. К распределению крайних второго типа приводят неограниченные исходные распределения, плотность которых убывает с ростом дисперсии крайних не убывают, как в предыдущих случаях, а неограниченно растут. Вернувшись теперь к нашей модели — куче щебня и ящикам с номерами, по которым раскладывали упорядоченные по весу камни, мы увидим., что если распределение веса камней приводит к распределению крайних I и III типа, то с увеличением Статистике крайних посвящена подробная и изустная монография Э. Гумбеля. [6].
|
1 |
Оглавление
|