Выборка из трех наблюдений

Изложим, следуя [7], практически важный случай трех наблюдений.

Пусть сделаны три измерения случайной величрны с функцией плотности Их порядковые статистики

могут стать основой для вычисления других интересных статистик

которые определяются следующим образом:

Другими словами, наблюдения лежат ближе друг к другу, а третье в стороне от них и может быть наименьшим или наибольшим из всех трех.

Эти статистики определяются не только своим номером после упорядочения, как порядковые статистики, а представляют собой в некотором смысле их обобщения.

Тройные наблюдения — весьма распространенный в практике экспериментирования прием. Третье измерение иногда делают, чтобы выяснить, какое из первых двух ошибочно. Если при этом два из трех наблюдений хорошо сходятся между собой, у исследователя возникает искушение отвергнуть «отскочившее» третье, как ошиббчное. При этом он полагает, что улучшит результат, если сделает

дополнительное измерение, а худшее отбросит, как если бы его и не было.

Посмотрим, как влияет такая отбраковка наблюдения на оценки математического ожидания и дисперсии.

Оказывается, что при нормальном и равномерном распределениях пара ближайших друг к другу наблюдений обладает следующими свойствами.

Математическое ожидание разности составляет менее половины математического ожидания размаха выборки объемом В таком же соотношении находятся среднеквадратичные отклонения этих разностей. Итак, отбрасывание «третьего лишнего» исказило свойство такой важной статистики, как размах. Лучше было бы пользоваться естественной выборкой объема

Среднее из двух ближайших состоятельная оценка математического ожидания, как и среднее из выборки объема но с несколько большей дисперсией. Особенно интересно, что среднее из двух наиболее расходящихся наблюдений служит лучшей оценкой математического ожидания, чем среднее из двух ближайших друг к другу наблюдений.

Итак, отбраковка «отскочившего» наблюдения ухудшает свойства и этой статистики.

Это, впрочем, не значит, что отбраковку вообще не следует делать. Отбраковка необходима, если есть основания считать «отскочившее» наблюдение «сорным» — принадлежащим чужому исходному распределению.

Само по себе «отскочившее» наблюдение объединяет свойства крайних порядковых статистик В случае равномерного на исходного распределения случайная величина имеет плотность

равную нормированной сумме плотностей крайних порядковых статистик при изображенных на рис. 2. Среднее т. е. совпадает с