Числовые характеристики порядковой статистики

Порядковая статистика, как всякая случайная величина, может описываться рядом числовых характеристик, в том числе и моментами распределения.

Значения моментов определяются видом исходного распределения объемом выборки и рангом

Обозначив через начальный момент порядка порядковой статистики в выборке объема получаем, что

Аналогично — смешанный начальный момент второго порядка порядковых статистик:

Отсюда ковариация (момент, характеризующий степень связанности двух величин)

Эту характеристику мы обсудим несколько позже.

Из (4) при получается математическое ожидание порядковой статистики а из (5) при ее дисперсия

Выражения для средних и дисперсий очень просты при равномерном распределении исходной совокупности

Вычислим эти характеристики при . Получаем математическое ожидание крайнего слева, центрального, крайнего справа членов выборки.

При последовательность средних выглядит так: 1/8, 2/8, 7/8. Точки, соответствующие математическим ожиданиям при нанесены на рис. 3. Разумеется, при любом средние не выйдут за границы распределения.

Значения математических ожиданий образуют на оси х систему точек, такую, что их взаимное положение не зависит от параметра сдвига (средней величины) исходного распределения. Более того, при изменении масштабного параметра (дисперсии) исходного закона не меняются относительные расстояния между Системы средних для нормированного и центрированного нормального закона называют «нормальными метками» [51. Ниже мы покажем, как можно использовать шкалы, подобные «нормальным меткам».

Дисперсии крайних равны и при дисперсия центрального значения

При увеличении выборки до дисперсии как крайних, так и центрального значения уменьшается:

Отметим, что дисперсия крайних членов больше, чем центрального значения. Вообще, существует закономерность относительно порядковой статистики с наименьшей дисперсией: если симметричная функция имеет максимум (или минимум) в медиане, то дисперсия значения обладает минимумом (максимумом) в медиане. Дисперсия увеличивается (уменьшается), если мы движемся от центра симметрии к периферии распределения.