Оценки параметров равномерного распределения

Равномерное распределение имеет функцию плотности где Е — математическое ожидание, размах.

Оценка среднего типа (14) с весовыми коэффициентами для неусеченной выборки имеет вид:

и представляет собой функцию лишь крайних членов выборки. Здесь «усечение» произвел алгоритм выбора весовых коэффициентов, обратив все, кроме крайних, в нули.

Оценка размаха

также зависит лишь от крайних значений. Дисперсия ошибки оценки среднего

Мы видим, что точность оценки выше точности выборочного среднего. Напомним, что выборочное среднее — эффективная оценка для математического ожидания нормального распределения. Выражение (17) — нелинейная функция выборки дающая так называемую «суперэффективную» оценку, оценку, наилучшую среди всех возможных несмещенных оценок.

Если крайние наблюдения приходится отбрасывать . оценки имеют вид:

и

вновь являясь функцией лишь крайних из оставшихся членов.

Мы видим новый по сравнению с нормальным законом распределения эффект — ценность приобрели именно крайние члены, именно они определяют эффективность оценок.

Эффективность оценки не зависит от того, с какого края и какое количество наблюдений усечено. Эффективность наибольшая, когда при одинаковом общем числе отсутствующих наблюдений с обоих краев усечено их поровну. Для оценки размаха вообще важно знать лишь общий объем отброшенных наблюдений.

Очень чувствительны к потере крайних значений оценки начальной а и конечной точек интервала распределения: у

и

Стоит здесь утратить одно или два крайних значения, как точность оценки падает в несколько раз. Наблюдения же с противоположного края выборки не оказывают сколько-нибудь заметного влияния на точность оценки и не могут компенсировать потерю крайних, «с другого берега».

Эти свойства равномерного распределения (и целого класса других) должны предостеречь экспериментаторов от необдуманного отбрасывания крайних наблюдений. Всегда нужно иметь в виду, что правомочность этой процедуры определяется видом закона распределения наблюдаемой в эксперименте случайной величины.