2. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА ПОРЯДКОВОЙ СТАТИСТИКИ

Итак, выяснив, что значит «образовать и упорядочить выборку», проделаем это применительно к генеральной совокупности с законом распределения вероятностей

Пусть генеральная совокупность представляется в виде кучи щебня, отдельные объекты которой — камни — характеризуются случайным параметром

Выбрав камней, мы образуем случайную выборку и можем ранжировать их по весу при помощи компаратора (весов). Как было выяснено выше, упорядочение типа «ранжирование» может быть выполнено путем парных сравнений, так что гири нам не понадобятся.

Случайная выборка имеет вид а после ранжирования Индекс означает номер значения в ранжированном ряду и именуется «рангом». Ясно, что

Проделаем следующий мысленный эксперимент. Образовав и упорядочив выборку, разложим камни в ящиков и на каждом ящике обозначим ранг положенного туда камня. Повторим всю процедуру: опять образуем и ранжируем выборку и также отправим камни из второй выборки в ящики соответствующих рангов.

Проделав все это в третий и в четвертый и т. д. разы, мы обнаружим, что в ящике № 1 содержатся самые легкие камни из всех выборок, а в ящике все самые тяжелые.

Такой процедурой, продолжая ее неограниченно долго, мы смогли бы в принципе разложить по ящикам всю генеральную совокупность, а затем, слвжив всю ее вместе и смешав, восстановить снова.

Рассмотрим содержимое каждого ящика более внимательно. Разумеется, веса камней одного и того же ранга в различных выборках вовсе не обязательно одинаковы. Более того, они случайны и подчинены определенному закону распределения. Иначе говоря, они являются значениями некоторой случайной величины, называемой порядковой статистикой, которую мы будем обозначать где ранг.

Ранжированная выборка, таким образом, принимает вид

Ее элемент (совокупность значений х с рангом называют порядковой статистикой. Элементы

и называются «крайними», или «экстремальными» порядковыми статистиками. Если нечетно, значения с номером являются центральными. Если порядка соответствующие порядковые статистики называются центральными». Как определить понятие «крайний» для случая, когда выборка неограниченно увеличивается и ? Если растет, а вместе с ним растет и так что при , соответствующая порядковая статистика считается центральной. Если же при либо порядковые статистики относятся к крайним. В этом определении можно усмотреть элемент произвола, заключающийся в том, что предполагаются сходными свойства элементов, оказавшихся, например, десятыми в сотне, сотыми в тысяче и т. д.