Момент импульса твердого тела относительно оси. Момент инерции относительно оси.

В тех случаях, когда твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, обычно оперируют с понятиями момента импульса и момента инерции относительно оси. Момент импульса относительно оси — это проекция на данную ось момента импульса определенного относительно некоторой точки О, принадлежащей оси, причем, как оказывается, выбор точки О на оси значения не имеет.

Действительно, при вычислении существенно лишь плечо импульса относительно оси вращения (рис. 2.12), то есть кратчайшее расстояние массы до оси:

Здесь учтено, что скорость массы при вращательном движении

Рис. 2.12

Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Пусть оси на рис. 2.12 — главные оси инерции для точки — неподвижная в лабораторной системе ось вращения, жестко связанная с телом. Вектор угловой скорости направленный вдоль можно разложить по осям системы координат

где — направляющие косинусы оси Вектор не совпадает с и при вращении тела описывает коническую поверхность, симметричную относительно Вектор также можно разложить по осям системы причем

где — главные моменты инерции.

Проекция вектора на ось вращения, или, что то же самое, момент импульса относительно оси

где

— момент инерции относительно оси.

Последняя формула позволяет рассчитать момент инерции твердого тела относительно произвольной оси в том случае, если известны главные моменты инерции и ориентация оси вращения относительно главных осей инерции (углы Во многих случаях такое вычисление оказывается значительно проще, чем прямой расчет по формуле

(см. (2.31)).

Отметим, что, в соответствии с данным выше определением, — величина скалярная (проекция вектора на ось вращения). Вместе с тем можно говорить и о векторе рассматривая его как составляющую вектора вдоль оси:

(вектор Р; изображен на рис. . В рекомендуемых учебных пособиях можно встретить обе трактовки понятия момента импульса относительно оси.