Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ЛЕКЦИЯ №2. Динамика абсолютно твердого тела. Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс.Задача динамики абсолютно твердого тела — изучить движение тела в зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела этих понятий оказывается недостаточно. Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один цилиндр, изготовленный из более легкого материала, пусть будет сплошным, а другой, изготовленный из более тяжелого материала, — полым. Опыт показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а); в частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости. Иное дело, если плоскость шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь вокруг своей оси (рис. 2.16), — в этом случае быстрее скатывается сплошной цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение массы относительно оси вращения. Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2 а,б). Для раскручивания стержней с грузами до угловой скорости
Рис. 2.1
Рис. 2.2 будет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции, момент импульса, момент силы. Момент импульса. Тензор инерции.Момент импульса тела относительно неподвижной точки — важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:
Здесь С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы
Здесь учтено, что Существенно, что в этом примере вектор Получим выражение для Пусть
Рис. 2.3
Рис. 2.4
Векторы Итак, в системе
Тогда, продолжая (2.3), можно записать:
Выражения для проекций момента импульса на оси системы
или
где
Диагональные элементы тензора называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что Если координатам
В символическом виде можно записать так:
Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин
Рис. 2.5 Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике — тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной — три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор — это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат). Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае Замечание. Если зависящими от времени. Такой подход в принципе возможен; он, в частности, используется в Берклеевском курсе физики [7].
|
1 |
Оглавление
|