ЛЕКЦИЯ №2. Динамика абсолютно твердого тела. Момент импульса. Тензор инерции. Момент импульса тела относительно оси. Эллипсоид инерции. Вычисление моментов инерции относительно оси. Теорема Гюйгенса-Штейнера. Момент импульса относительно движущегося центра масс.

Задача динамики абсолютно твердого тела — изучить движение тела в зависимости от действующих на него сил. Как следует из предыдущего рассмотрения, произвольное движение твердого тела можно свести к поступательному и вращательному. При поступательном движении траектории всех точек тела одинаковы, и для описания этого движения используются такие понятия, как масса, импульс, сила. При изучении вращательного движения тела этих понятий оказывается недостаточно.

Рассмотрим два цилиндра одинаковой массы и одинаковых размеров, причем один цилиндр, изготовленный из более легкого материала, пусть будет сплошным, а другой, изготовленный из более тяжелого материала, — полым. Опыт показывает, что при соскальзывании с достаточно гладкой наклонной плоскости цилиндры не вращаются и ведут себя совершенно одинаково (рис. 2.1а); в частности, они одновременно достигают основания этой наклонной плоскости. Иное дело, если плоскость шероховатая, и цилиндры скатываются, вращаясь вокруг своей оси (рис. 2.16), — в этом случае быстрее скатывается сплошной цилиндр. Таким образом, при вращательном движении существенно распределение массы относительно оси вращения.

Об этом же свидетельствуют и другие опыты: чем дальше от оси вращения сосредоточена масса тела, тем труднее его раскрутить при воздействии постоянной силой, имеющей одно и то же плечо (рис. 2.2 а,б). Для раскручивания стержней с грузами до угловой скорости в случае рис. 2.26 требуется большее время, чем в случае рис. 2.2а. В этих же опытах можно показать, что при вращательном движении тела существенную роль играет не сама сила, а ее момент: если перебросить нить на шкив большего радиуса, то раскрутить эти тела

Рис. 2.1

Рис. 2.2

будет легче (рис. 2.2в). Таким образом, для описания вращательного движения тела необходимо ввести новые понятия: момент инерции, момент импульса, момент силы.

Момент импульса. Тензор инерции.

Момент импульса тела относительно неподвижной точки — важнейшее понятие в динамике вращательного движения твердого тела. Он определяется так же, как и для системы материальных точек:

Здесь — импульс элементарной массы в лабораторной системе а — радиус-вектор массы началом в той неподвижной точке, относительно которой вычисляется момент импульса тела.

С учетом постоянства расстояний между точками абсолютно твердого тела вектор момента импульса удается связать с вектором угловой скорости .

Рассмотрим, к примеру, две одинаковые точечные массы укрепленные на концах невесомого стержня (рис. 2.3). Стержень с массами вращается с угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня и перпендикулярной ему. В этом случае

Здесь учтено, что .

Существенно, что в этом примере вектор направлен так же, как и . К сожалению, так бывает не всегда. В этом можно убедиться на примере, показанном на рис. 2.4. Здесь невесомый стержень с двумя массами на концах жестко закреплен на вертикальной оси (в точке О) под некоторым углом а к ней и лежит в плоскости При вращении стержня вокруг вертикальной оси с угловой скоростью вектор определенный по (2.1), будет находиться в плоскости и составит угол с осью . Система введенная в начале лекции 1, жестко связана со стержнем и поворачивается вместе с ним. При этом вектор остается в плоскости а в лабораторной системе движется по конической поверхности с углом полураствора

Получим выражение для в случае твердого тела произвольной формы, закрепленного в некоторой точке О.

Пусть — радиус-вектор элементарной массы твердого тела, а угловая скорость. Тогда

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Векторы и можно проектировать как на оси лабораторной системы так и на оси системы жестко связанной с твердым телом (поскольку точка О неподвижна, начала обеих систем можно совместить). Преимущество системы заключается в том, что в ней проекции являются постоянными величинами (в системе они зависят от времени), и выражения для компонент оказываются проще.

Итак, в системе

Тогда, продолжая (2.3), можно записать:

Выражения для проекций момента импульса на оси системы запишем в следующем виде:

или

где компонент так называемого тензора инерции твердого тела относительно точки О:

Диагональные элементы тензора называются осевыми моментами инерции, недиагональные элементы

называются центробежными моментами инерции. Обратим внимание, что Такой тензор называют симметричным.

Если координатам и присвоить номера 1, 2 и 3 соответственно, то (2.9-2.11) можно представить в виде

В символическом виде можно записать так:

Самое главное, что стоит за приведенными выше формулами, заключается в следующем. Девять величин (из них шесть независимых) определяют однозначную связь между и причем оказывается, что вообще говоря, не совпадает по направлению с (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Итак, мы столкнулись с новым типом величин, имеющим важное значение в физике — тензором. Если для задания скалярной величины необходимо одно число (значение скалярной величины), векторной — три числа (три проекции вектора на оси декартовой системы координат), то для задания тензора необходимы в общем случае 9 чисел. На языке математики тензор — это многокомпонентная величина, характеризующаяся определенным поведением при преобразованиях системы координат (в данном случае компоненты тензора инерции преобразуются как произведения соответствующих координат).

Необходимость введения тензорных величин связана с различного рода анизотропией свойств физических макроскопических объектов. Тензор связывает две векторные величины, которые пропорциональны друг другу по модулю, но в силу анизотропии свойств объекта не совпадают друг с другом по направлению. В случае и решающую роль играет “анизотропия” формы тела (отсутствие определенной симметрии относительно осей ). В других случаях это может быть анизотропия, например, электрических или магнитных свойств вещества. Так, векторы поляризации вещества Р и напряженности электрического поля Е связаны тензором поляризуемости а: — электрическая постоянная). Это означает, что в силу анизотропии электрических свойств вещество поляризуется “не по полю”, то есть “не по полю” смещаются положительные и отрицательные заряды в молекулах вещества. Примерами других, в общем случае тензорных величин являются диэлектрическая проницаемость и магнитная проницаемость вещества. Важную роль в механике играют тензоры деформаций и напряжений. С этими и другими тензорными величинами вы познакомитесь при изучении соответствующих разделов курса общей физики.

Замечание. Если и в выражении (2.3) проектировать на оси лабораторной системы то компоненты тензора оказались бы

зависящими от времени. Такой подход в принципе возможен; он, в частности, используется в Берклеевском курсе физики [7].