Уравнения Эйлера.

Рассмотрим однородное аксиально симметричное тело вращения, закрепленное в центре масс О

Рис. 3.13

(рис. 3.14). Центральный эллипсоид инерции такого тела является эллипсоидом вращения с осью симметрии

Система координат на рис. 3.14 — лабораторная, система жестко связана с телом, причем оси — главные центральные оси инерции тела. Поскольку это тело вращения, то главные осевые моменты инерции равны между собой: .

Суммарный момент сил тяжести относительно точки закрепления (центра масс) равен нулю, иных сил, кроме сил тяжести, нет, поэтому уравнение моментов (3.2) имеет вид

откуда

то есть момент импульса раскрученного и предоставленного самому себе тела остается постоянным по величине и направлению.

Замечание. Если исследуемое тело — шар, то и центральный эллипсоид инерции трансформируется в сферу. Это означает, что любая центральная ось вращения является главной осью инерции шара, то есть имеет место простое соотношение где — момент инерции относительно центральной оси, и при получаем Ось вращения совпадает по направлению с и сохраняет свою ориентацию в пространстве.

Теперь допустим, что отлично от как, например, на рис. 3.14.

В этом случае чистое вращение имеет место только тогда, когда ось вращения либо совпадает с осью симметрии тела, либо перпендикулярна к ней.

Общий случай более сложен; обычно его рассматривают с помощью дифференциальных уравнений Эйлера. Дело заключается в том, что если в уравнении (3.42) вектор спроектировать на оси лабораторной системы то скалярные дифференциальные уравнения движения будут весьма сложными, поскольку моменты инерции относительно неподвижных осей будут функциями времени. Поэтому гораздо удобнее рассматривать в проекциях на оси системы жестко связанной с твердым телом.

Пусть — орты системы жестко связанной с твердым телом (рис. 3.14). Тогда (3.42) принимает вид

где не только проекции но и единичные орты к являются функциями времени. Поэтому из (3.44) следует

Рис. 3.14

Здесь использован символ чтобы подчеркнуть, что рассматриваются изменения во времени проекций относительно подвижной системы — системы, которая, в свою очередь, поворачивается вместе с телом с мгновенной угловой скоростью

Что касается производных по времени от единичных векторов то их изменения во времени обусловлены только вращением системы с угловой скоростью поэтому

(см. рис. 3.15). Подставляя эти выражения в (3.45), получим:

Преобразование

находится в полной аналогии с преобразованием скорости при переходе от неподвижной к вращающейся системе координат. Существенно, что наблюдатель, находящийся в системе фиксирует только относительное изменение (член ). Для наблюдателя в лабораторной системе к относительному изменению добавляется его “переносное” изменение, связанное с вращением системы с мгновенной угловой скоростью

Рис. 3.15

Проецируя векторы на оси системы жестко связанной с твердым телом, получим:

Поскольку оси — главные оси инерции для точки закрепления, то и из будем иметь следующие уравнения:

где — главные моменты инерции тела. Обычно эти уравнения называют уравнениями Эйлера при отсутствии моментов внешних сил.

В частном случае (рис. 3.14 ) и из (3.52-3.54) получаем:

где введено обозначение

Из (3.57) следует, что то есть проекция вектора на ось симметрии тела остается постоянной. Ясно, что — также постоянная величина. Ее физический смысл становится понятным, если записать решение уравнений (3.55, 3.56):

где — проекция вектора на плоскость

Таким образом, вектор составляет с осью симметрии тела угол и вращается вокруг этой оси, как следует из (3.59), с постоянной угловой скоростью . Начальная фаза этого вращения определяется начальными условиями.

Посмотрим, как будет выглядеть движение твердого тела в лабораторной системе Поскольку нам известны значения то закон движения тела (зависимость углов Эйлера от времени) в принципе может быть получен из кинематических уравнений Эйлера (1.30 - 1.32). Однако это связано с решением в общем случае довольно сложных дифференциальных уравнений, поэтому мы ограничимся качественным рассмотрением движения тела. В силу того, что

( — орты главных осей инерции тела), можно записать

Здесь добавлен и вычтен член что позволяет представить (3.61) в виде

Отсюда видно, что к (ось фигуры), и лежат в одной плоскости. Из (3.62) следует, что

где

есть составляющая угловой скорости по направлению Плоскость, в которой лежат ось фигуры, и поворачивается (прецессирует) вокруг направления с угловой скоростью называемой скоростью прецессии (рис. 3.16).

Само движение называется регулярной прецессией свободного симметричного волчка.

Отметим, что в случае веретенообразного тела, изображенного на рис. 3.16, , поэтому (см. (3.58)), и вектор направлен в ту же сторону, что и k.

Замечание 1. Закрепление аксиально симметричного твердого тела в центре масс может быть выполнено не только с помощью карданова подвеса, но, например, так, как показано на рис. 3.17. Массивное тело, сечение которого плоскостью рисунка заштриховано, шарнирно закреплено в точке О, совпадающей с центром масс тела.

Замечание 2. Используя построение Пуансо (см. лекцию №2), регулярной прецессии свободного симметричного волчка можно дать наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.18).

Момент импульса тела относительно неподвижного центра масс О представляет собой вектор, постоянный по величине и направлению.

Рис. 3.16

Рис. 3.17

Рис. 3.18

Эллипсоид инерции тела с центром в точке О, сечение которого изображено на рис. 3.18, является эллипсоидом вращения. Касательная к эллипсоиду плоскость проведена через полюс Р пересечения мгновенной угловой скорости со с эллипсоидом; эта плоскость перпендикулярна к вектору и в лабораторной системе отсчета сохраняет свое положение неизменным. При регулярной прецессии волчка эллипсоид инерции тела катится по плоскости без скольжения, так что геометрическим местом полюсов Р является окружность радиуса принадлежащая плоскости

Замечание 3. Во избежание путаницы отметим следующее. Описанное выше движение связано с изменением угла прецессии V (см. рис. 1.3), поэтому оно и было названо регулярной прецессией (кинематическое определение). Однако существуют определения прецессии как движения оси симметрии тела под действием момента внешних сил (динамическое определение, см. лекцию №4). Описанное же выше движение с точки зрения динамического определения называют нутацией.