Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Уравнения Эйлера.Рассмотрим однородное аксиально симметричное тело вращения, закрепленное в центре масс О
Рис. 3.13 (рис. 3.14). Центральный эллипсоид инерции такого тела является эллипсоидом вращения с осью симметрии Система координат Суммарный момент сил тяжести относительно точки закрепления (центра масс) равен нулю, иных сил, кроме сил тяжести, нет, поэтому уравнение моментов (3.2) имеет вид
откуда
то есть момент импульса раскрученного и предоставленного самому себе тела остается постоянным по величине и направлению. Замечание. Если исследуемое тело — шар, то Теперь допустим, что В этом случае чистое вращение имеет место только тогда, когда ось вращения либо совпадает с осью симметрии тела, либо перпендикулярна к ней. Общий случай более сложен; обычно его рассматривают с помощью дифференциальных уравнений Эйлера. Дело заключается в том, что если в уравнении (3.42) вектор Пусть
где не только проекции
Рис. 3.14
Здесь использован символ Что касается производных по времени от единичных векторов
(см. рис. 3.15). Подставляя эти выражения в (3.45), получим:
Преобразование
находится в полной аналогии с преобразованием скорости при переходе от неподвижной к вращающейся
Рис. 3.15 Проецируя векторы
Поскольку оси
где В частном случае (рис. 3.14 )
где введено обозначение
Из (3.57) следует, что
где Таким образом, вектор Посмотрим, как будет выглядеть движение твердого тела в лабораторной системе
(
Здесь добавлен и вычтен член
Отсюда видно, что к (ось фигуры),
где
есть составляющая угловой скорости по направлению Само движение называется регулярной прецессией свободного симметричного волчка. Отметим, что в случае веретенообразного тела, изображенного на рис. 3.16, Замечание 1. Закрепление аксиально симметричного твердого тела в центре масс может быть выполнено не только с помощью карданова подвеса, но, например, так, как показано на рис. 3.17. Массивное тело, сечение которого плоскостью рисунка заштриховано, шарнирно закреплено в точке О, совпадающей с центром масс тела. Замечание 2. Используя построение Пуансо (см. лекцию №2), регулярной прецессии свободного симметричного волчка можно дать наглядную геометрическую интерпретацию (рис. 3.18). Момент импульса
Рис. 3.16
Рис. 3.17
Рис. 3.18 Эллипсоид инерции тела с центром в точке О, сечение которого изображено на рис. 3.18, является эллипсоидом вращения. Касательная к эллипсоиду плоскость Замечание 3. Во избежание путаницы отметим следующее. Описанное выше движение связано с изменением угла прецессии V (см. рис. 1.3), поэтому оно и было названо регулярной прецессией (кинематическое определение). Однако существуют определения прецессии как движения оси симметрии тела под действием момента внешних сил (динамическое определение, см. лекцию №4). Описанное же выше движение с точки зрения динамического определения называют нутацией.
|
1 |
Оглавление
|