Вращение вокруг неподвижной оси

Если при движении твердого тела какие-либо две его точки все время остаются неподвижными, то через эти точки можно провести прямую, являющуюся неподвижной осью вращения. С таким движением мы сталкиваемся ежедневно, открывая и закрывая дверь в комнату. Очевидно, что в этом случае тело обладает лишь одной степенью свободы, связанной с углом его поворота вокруг оси. При этом все точки тела движутся по окружностям, лежащим в плоскостях, которые перпендикулярны оси вращения; центры окружностей лежат на этой оси.

Существенно, что линейные скорости точек, находящихся на разном расстоянии от оси вращения, разные. В этом можно убедиться, касаясь стальной проволокой вращающегося диска точила (рис. 1.6): чем дальше от оси, тем длиннее сноп искр — тем больше скорость соответствующей точки диска.

Рис. 1.6

При этом также видно, что искры летят по касательной к окружности, описываемой данной точкой диска.

Ясно, что угловое перемещение всех точек твердого тела за одно и то же время будет одинаковым. Это обстоятельство позволяет ввести общую кинематическую характеристику — угловую скорость

— угол поворота тела за время

Можно ввести вектор элементарного углового перемещения направленный вдоль оси вращения в соответствии с правилом правого буравчика: если рукоятку буравчика поворачивать в направлении вращения тела, то поступательное перемещение буравчика даст направление Устремляя интервал времени за которое произошло угловое перемещение к нулю, мы получим вектор угловой скорости

который определяет, во-первых, модуль угловой скорости тела, во-вторых,

— ориентацию оси вращения в пространстве, и в-третьих, — направление вращения тела. Следует подчеркнуть, что — вектор скользящий в том смысле, что его начало можно совместить с любой точкой, принадлежащей оси вращения.

Например, для Земли, вращающейся вокруг своей оси с запада на восток, вектор имеет направление от южного полюса к северному. Величина угловой скорости

Для сравнения: угловая скорость орбитального движения Земли составляет

Заметим, что период орбитального движения не кратен продолжительности суток, что создает известные трудности в построении календаря (необходимо вводить високосные годы и проч.).

Зная , легко определить линейную скорость любой точки твердого тела. Введем радиус-вектор некоторой точки А твердого тела, поместив его начало в точку О на оси вращения (рис. 1.7). Вектор проведен в точку А от оси вращения, то есть перпендикулярно оси.

Рис. 1.7

Вектор скорости можно связать с векторами

(формула Эйлера). При этом величина скорости

Ясно, что точку О на оси вращения можно выбрать произвольно — значение будет одним и тем же.

Ускорение точки А

Здесь угловое ускорение тела. Это аксиальный вектор, направленный в ту же сторону, что и , если вращение ускоряется, и противоположно , если вращение замедляется.

Таким образом, ускорение является суммой двух величин:

(рис. 1.8), причем все три вектора лежат в плоскости, перпендикулярной оси вращения.

Рис. 1.8

Рис. 1.9

— это тангенциальное ускорение — единичный вектор в направлении

— это центростремительное ускорение — единичный вектор в направлении к оси вращения). Эти составляющие полного ускорения хорошо известны из кинематики вращательного движения материальной точки.