Эллипсоид инерции.

Формула (2.35) для момента инерции относительно оси допускает наглядную геометрическую интерпретацию.

Представим, что через точку О начала координат системы мы проводим прямые во всевозможных направлениях и на них откладываем отрезки длиной — (рис. 2.13), где к есть постоянная величина, имеющая размерность Геометрическим местом концов этих отрезков будет некоторая поверхность. Получим уравнение этой поверхности.

Пусть оси на рис. 2.13 — главные оси инерции. Проекции вектора на оси координат составляют

откуда

Подставляя (2.41) в (2.35), получим

или

Это, как известно, уравнение эллипсоида, который в данном случае называют эллипсоидом инерции.

Центр эллипсоида инерции, как видно из его уравнения, находится в начале координат системы (точке О). Постоянная к может быть выбрана произвольно и определяет масштаб построения; изменяя к, мы будем получать подобные эллипсоиды. Главные оси эллипсоида инерции являются главными осями инерции тела для точки О.

Эллипсоид инерции жестко связан с телом, а его положение относительно тела зависит от выбора точки О. Эллипсоид инерции, построенный для центра масс тела, называется центральным. Если известно положение эллипсоида инерции, известно и положение всего тела в данный момент времени. Рассматривая вращательное движение твердого тела, в ряде случаев можно абстрагироваться от его формы и иметь дело с эллипсоидом инерции. Для куба и шара, например, центральные эллипсоиды инерции вырождаются в сферу, поэтому эти тела с точки зрения многих задач механики оказываются эквивалентными.

Для примера рассмотрим сплошной однородный куб с ребром а и массой . Эллипсоид инерции для центра одной из граней куба (точка О) показан на рис. 2.14. Полуоси лежат на главных осях инерции для точки О, причем лежат в плоскости боковой грани, а — перпендикулярна этой боковой грани. Для сравнения: эллипсоид инерции для центра куба вырождается в сферу с радиусом, равным

Понятие эллипсоида инерции позволяет с помощью достаточно простого графического построения

Рис. 2.13

Рис. 2.14

установить связь между угловой скоростью и моментом импульса относительно точки О, принадлежащей оси вращения. Речь идет о так называемом построении Пуансо, которое мы приводим без доказательства: необходимо построить эллипсоид инерции с центром в точке О и в точке его пересечения с осью вращения (вектором угловой скорости провести плоскость, касательную к эллипсоиду. Перпендикуляр, опущенный из центра эллипсоида инерции на касательную плоскость, и даст направление вектора момента импульса Пример подобного построения представлен на рис. 2.14.