ЛЕКЦИЯ №1. Кинематика абсолютно твердого тела. Степени свободы. Углы Эйлера. Поступательное движение. Вращение вокруг неподвижной оси. Плоское движение. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку. Движение свободного твердого тела.

Механика твердого тела — один из наиболее трудных разделов курса. Как и механика материальной точки, он состоит из двух основных частей: кинематики и динамики.

Задача кинематики — дать способы описания движения твердого тела и, исходя из закона его движения, определить положение, скорость и ускорение любой точки тела в любой момент времени. В общем случае это довольно сложная задача — в этом можно убедиться, покрутив в руках, например, книгу или ручку. Конечно, всякое тело можно представить как систему материальных точек и попробовать применить к нему приемы, известные из кинематики точки. На первый взгляд, это не упрощает ситуацию — не выписывать же законы движения для всех физически малых частей, на которые можно разбить тело, пусть даже их будет и конечное число!

Облегчающее обстоятельство кроется в самих словах “твердое тело”. Твердое — значит практически недеформируемое. Опыт показывает, что если на какой-либо достаточно твердый предмет подействовать силой и заставить его двигаться, то расстояния между любыми его точками останутся неизменными. Хотя, конечно, под действием приложенных сил в теле возникнут внутренние напряжения, причина которых — деформации отдельных его частей. Но если мы говорим о твердом теле, то эти деформации оказываются настолько малыми, что незаметны для глаза, и от них можно отвлечься. В итоге мы приходим к идеализированной модели абсолютно твердого тела (в дальнейшем — просто твердого тела), которое совершенно не способно деформироваться, хотя под действием внешних сил в нем могут возникать определенные внутренние усилия.

Таким образом, твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными. Другими словами, все макроскопические элементы такого тела неподвижны в системе координат, жестко связанной с телом. Именно это обстоятельство позволяет значительно упростить решение кинематических задач и конкретизировать многие общие понятия (импульс, момент импульса, энергия), введенные ранее при рассмотрении системы материальных точек.

Степени свободы. Углы Эйлера.

Двигаясь в пространстве, твердое тело обладает определенными степенями свободы.

Число степеней свободы — это число независимых величин, которые необходимо задать для того, чтобы однозначно определить положение тела в пространстве. В разных ситуациях число степеней свободы твердого тела может быть различным. Если диск, не вращаясь, может скользить вдоль неподвижной в данной системе отсчета оси (рис. 1.1а), то в данной системе отсчета он, очевидно, обладает только одной степенью свободы — положение диска однозначно определяется, скажем, координатой х его центра, отсчитываемой вдоль оси. Но если диск, кроме того, может еще и вращаться (рис. 1.16),

Рис. 1.1

то он приобретает еще одну степень свободы — к координате добавляется угол поворота диска вокруг оси. Если ось с диском зажата в рамке, которая может поворачиваться вокруг вертикальной оси (рис. 1.1в), то число степеней свободы становится равным трем — к добавляется угол поворота рамки.

Коробка, которая может перемещаться по поверхности стола (рис. 1.2), также обладает тремя степенями свободы — для однозначного определения ее положения можно задать, например, координаты ее центра и угол между одним из ребер коробки и краем стола.

Каково же число степеней свободы твердого тела в самом общем случае?

Для того, чтобы однозначно задать положение твердого тела в пространстве, надо зафиксировать три его точки, не лежащие на одной прямой. Одна материальная точка имеет три степени свободы (три декартовы координаты Две материальные точки, жестко связанные между собой, имеют 3 + 3 - 1 = 5 степеней свободы. В этом случае координаты точек не являются независимыми величинами, так как имеется уравнение связи

где — расстояние между точками.

Таким образом, в общем случае для твердого тела получаем 3 + 3 + 3 -3 = 6 степеней свободы. При этом имеются три уравнения связи, выражающие постоянство расстояний между каждой парой точек.

Шесть параметров, соответствующих шести степеням свободы твердого тела, можно задавать по-разному. В дальнейшем мы будем пользоваться тремя различными декартовыми системами координат:

1. Лабораторная система

2. Система начало которой связано с некоторой точкой О твердого тела, а оси остаются параллельными осям лабораторной системы

Рис. 1.2

то есть система движется вместе с точкой О твердого тела относительно системы поступательно.

3. Система начало которой находится в той же точке О, что и начало системы а оси жестко связаны с твердым телом.

Тогда шести степеням свободы тела будут соответствовать, во-первых, три координаты точки О (в лабораторной системе XYZ), а во-вторых, — три угла однозначно определяющие положение системы относительно Эти углы называются углами Эйлера.

Их смысл ясен из рис. 1.3, где — линия пересечения плоскостей при этом нижнее основание твердого тела (прямоугольного параллелепипеда) лежит в плоскости Обычно их называют так: — угол собственного вращения (с изменением этого угла связан поворот твердого тела вокруг оси z), — угол прецессии (поворот вокруг с сохранением угла между осями ), — угол нутации (отклонение тела от оси ).

Примеры с диском на оси и коробкой (рис. 1.1, 1.2) показывают, что сложное движение того или иного тела может быть представлено как суперпозиция достаточно простых движений: поступательного перемещения и поворота (вращения) вокруг оси. В дальнейшем, следуя принципу “от простого к сложному”, мы рассмотрим 5 типов движения твердого тела, исчерпывающих все встречающиеся на практике случаи:

— поступательное движение;

— вращение вокруг неподвижной оси;

— плоское, или плоско-параллельное движение;

— движение твердого тела с одной неподвижной точкой (такое движение иногда называют сферическим);

— движение свободного, то есть незакрепленного твердого тела.