Прецессия гироскопа под действием внешних сил. Элементарная теория.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда к оси гироскопа приложена сила, линия действия которой не проходит через точку закрепления. Опыты показывают, что в этом случае гироскоп ведет себя весьма необычным образом.

Если к оси шарнирно закрепленного в точке О гироскопа (рис. 4.3) прикрепить пружину и тянуть за нее вверх с силой то ось гироскопа будет перемещаться не в направлении силы, а перпендикулярно к ней, вбок. Это движение называется прецессией гироскопа под действием внешней силы.

Опытным путем можно установить, что угловая скорость прецессии зависит не только от величины силы (рис. 4.3), но и от того, к какой точке оси гироскопа эта сила приложена: с увеличением и ее плеча относительно точки закрепления О скорость прецессии увеличивается. При этом оказывается, что чем сильнее раскручен гироскоп, тем меньше угловая скорость прецессии при данных

В качестве силы вызывающей прецессию, может выступать сила тяжести, если точка закрепления гироскопа

Рис. 4.3

Рис. 4.4

не совпадает с центром масс. Так, если стержень с быстро вращающимся диском подвесить на нитке (рис. 4.4), то он не опускается вниз, как это можно было бы предположить, а совершает прецессионное движение вокруг нитки. Наблюдение прецессии гироскопа под действием силы тяжести в некотором смысле даже удобнее — линия действия силы “автоматически” смещается вместе с осью гироскопа, сохраняя свою ориентацию в пространстве.

Можно привести и другие примеры прецессии — например, движение оси хорошо известной детской игрушки — юлы с заостренным концом (рис. 4.5). Юла, раскрученная вокруг своей оси и поставленная на горизонтальную плоскость слегка наклонно, начинает прецессировать вокруг вертикальной оси под действием силы тяжести (рис. 4.5).

Точное решение задачи о движении гироскопа в поле внешних сил довольно сложно. Однако, выражение для угловой скорости прецессии можно легко получить в рамках так называемой элементарной теории гироскопа. В этой теории делается допущение, что мгновенная угловая скорость вращения гироскопа и его момент импульса направлены вдоль оси симметрии гироскопа. Другими словами, предполагается, что угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси значительно больше угловой скорости прецессии:

так что вкладом в обусловленным прецессионным движением гироскопа, можно пренебречь. В этом приближении момент импульса гироскопа, очевидно, равен

где момент инерции относительно оси симметрии.

Итак, рассмотрим тяжелый симметричный гироскоп, у которого неподвижная точка (точка опоры о подставку) не совпадает с центром масс О (рис. 4.6).

Момент силы тяжести относительно точки

Рис. 4.5

Рис. 4.6

где — угол между вертикалью и осью симметрии гироскопа. Вектор М направлен по нормали к плоскости, в которой лежат ось симметрии гироскопа и вертикаль, проведенная через точку (рис. 4.6). Сила реакции опоры проходит через и ее момент относительно этой точки равен нулю.

Изменение момента импульса определяется выражением

При этом и и ось волчка прецессируют вокруг вертикального направления с угловой скоростью

Еще раз подчеркнем: делается допущение, что выполнено условие (4.5) и что постоянно направлен вдоль оси симметрии гироскопа. Из рис. 4.6 следует, что

В векторном виде

Сравнивая (4.8) и (4.10), получаем следующую связь между моментом силы М, моментом импульса и угловой скоростью прецессии

Это соотношение позволяет определить направление прецессии при заданном направлении вращения волчка вокруг своей оси.

Обратим внимание, что М определяет угловую скорость прецессии, а не угловое ускорение, поэтому мгновенное «выключение» М приводит к мгновенному же исчезновению прецессии, то есть прецессионное движение является безынерционным.

Сила, вызывающая прецессионное движение, может иметь любую природу. Для поддержания этого движения важно, чтобы вектор момента силы поворачивался вместе с осью гироскопа. Как уже было отмечено, в случае силы тяжести это достигается автоматически. При этом из (4.11) с учетом того, что в нашем приближении справедливо соотношение (4.6), можно получить:

Отсюда для угловой скорости прецессии получаем

Следует отметить, что не зависит от угла наклона оси гироскопа и обратно пропорциональна что хорошо согласуется с опытными данными.