Вычисление моментов инерции относительно оси.

Прямой расчет момента инерции тела относительно оси сводится к вычислению интеграла

где — расстояние элементарной массы до оси вращения. При этом, естественно, необходимо учитывать симметрию системы.

Вычислим, к примеру, момент инерции шара (в сферических координатах рис. 2.15) относительно произвольной оси, проходящей через его центр (в данном случае относительно оси

m - масса шара, V — его объем.

поэтому

Если считать, что наша Земля — шар с постоянной плотностью массы, то момент инерции Земли относительно центральной оси будет равен

Рис. 2.15

Рис. 2.16

Для сравнения рассчитаем момент инерции молекулы относительно оси, проходящей через атом углерода перпендикулярно линии, вдоль которой расположены все три атома (рис. 2.16).

Рис. 2.17

Основная масса атомов сосредоточена в их ядрах; размеры ядер значительно меньше межядерного расстояния поэтому атомы кислорода можно считать материальными точками, а моментом инерции атома углерода можно пренебречь.

При этих условиях где — молярная масса кислорода, — число Авогадро, — межядерное расстояние (см. рис. 2.16). Подставляя числовые значения этих величин, получим

Для плоской фигуры моменты инерции относительно трех взаимно перпендикулярных осей, две из которых лежат в плоскости фигуры, оказываются связанными между собой простым соотношением. Из рис. 2.17 следует, что

откуда

Это соотношение позволяет, например, легко вычислить момент инерции тонкого диска массы и радиуса относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости (любая такая ось будет главной): поскольку момент инерции диска относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости диска,