Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Плоское движениеПлоское движение — это такое движение твердого тела, при котором траектории всех его точек лежат в неподвижных параллельных плоскостях. Если в теле провести некоторую прямую
Рис. 1.10 Обратимся к классическому простому примеру плоского движения — качению цилиндра по плоскости без проскальзывания. Рассматривая одно из сечений цилиндра плоскостью, перпендикулярной его оси, мы придем к известной задаче о катящемся колесе (рис. 1.10). Центр колеса движется прямолинейно, траектории других точек представляют собой кривые, называемые циклоидами. При отсутствии проскальзывания мгновенная скорость самой нижней точки колеса (точки М) равна нулю. Это позволяет рассматривать качение колеса как суперпозицию двух движений: поступательного со скоростью оси Ясно, что в этом случае Попробуем обобщить этот прием на произвольное плоское движение. Выделим отрезок
Рис. 1.11
Рис. 1.12 при поступательном перемещении изменилась (в данном случае увеличилась), но угол поворота остался прежним! Приближая конечное положение тела к начальному (сокращая рассматриваемый промежуток времени), приходим к выводу: плоское движение твердого тела в любой момент времени можно представить как суперпозицию поступательного движения со скоростью некоторой точки, выбранной в качестве полюса, и вращения вокруг оси, проходящей через полюс. В реальной ситуации оба эти движения, естественно, происходят одновременно. Существенно, что разложение на поступательное и вращательное движения оказывается неоднозначным, причем в зависимости от выбора полюса скорость поступательного движения будет изменяться, а угловая скорость вращения останется неизменной. В соответствии со сказанным скорость любой точки А тела (рис. 1.12) геометрически складывается из скорости какой-либо другой точки О, принятой за полюс, и скорости вращательного движения вокруг этого полюса. Напомним, что система координат Радиус-вектор точки А
Скорость точки А
Рис. 1.13 Из (1.16) можно сделать вывод, что в любой момент времени должна существовать такая точка М, скорость которой в лабораторной системе
(рис. 1.13). Заметим, что эта точка не обязательно должна принадлежать телу, то есть может находиться и вне его. Таким образом, плоское движение твердого тела в данный момент времени можно представить как чистое вращение вокруг оси, проходящей через эту точку М — такая ось называется обычно мгновенной осью вращения. В частности, для колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания (рис. 1.10), мгновенная ось вращения проходит через точку М соприкосновения колеса с плоскостью. Существенно, что в разные моменты времени мгновенная ось вращения проходит через разные точки твердого тела и через разные точки лабораторной системы Для того, чтобы определить положение мгновенной оси вращения, необходимо знать скорости каких-либо двух точек твердого тела. Так, на рис. 1.14 показано положение мгновенной оси вращения (точка М) для цилиндра, зажатого между двумя параллельными рейками, которые движутся в одну и ту же сторону с разными скоростями
Рис. 1.14
Рис. 1.15 В ситуации, изображенной на рис. 1.15, стержень В случае, показанном на рис. 1.16, стержень, опирающийся одним из своих концов на гладкую горизонтальную плоскость, начинает падать из вертикального положения. При этом центр масс стержня опускается, оставаясь
Рис. 1.16 на одной и той же вертикали. Мгновенная ось вращения (точка М) перемещается по дуге окружности радиуса Зная угловую скорость
вектор
Рис. 1.17
Рис. 1.18 Рис. 1.18 иллюстрирует распределение скоростей на вертикальном диаметре колеса железнодорожного вагона. Мгновенная ось вращения проходит через точку М соприкосновения колеса с рельсом. Хорошо видно, что линейная скорость точки на краю реборды направлена в сторону, противоположную движению вагона. Определим теперь ускорения точек тела при плоском движении. Дифференцируя выражение (1.16) по времени, получим для ускорения точки А
Это ускорение складывается из трех частей (рис. 1.19): ускорения
и нормального ускорения
(скалярное произведение Таким образом, ускорение любой точки А тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения точки, принятой за полюс, и ускорения точки А за счет ее вращения вокруг этого полюса. Отсюда, в частности, следует, что ускорение любой точки колеса, катящегося по плоскости без проскальзывания с постоянной скоростью
Рис. 1.19 Замечание. По аналогии с мгновенной осью вращения можно ввести мгновенную ось, ускорения всех точек которой в данный момент времени равны нулю. При этом следует иметь в виду, что эта ось, вообще говоря, не совпадает с мгновенной осью вращения. Так, в примере с колесом, катящимся по плоскости с постоянной скоростью, она проходит через центр колеса.
|
1 |
Оглавление
|