Движение твердого тела с одной неподвижной точкой.

Примеры таких тел показаны на рис. 1.20: волчок с шарнирно закрепленным острием конус, катающийся по плоскости без проскальзывания (б). В этом случае тело имеет три степени свободы — начала систем и введенных в начале лекции, можно совместить с точкой закрепления, а для описания движения тела использовать три угла Эйлера:

Для твердого тела с одной неподвижной точкой справедлива теорема Эйлера: твердое тело, закрепленное в одной точке, может быть переведено

Рис. 1.20

из одного положения в любое другое одним поворотом на некоторый угол вокруг неподвижной оси, проходящей через точку закрепления. Доказательство этой теоремы можно найти в учебниках. Для нас важно следствие из этой теоремы: движение закрепленного в точке твердого тела в каждый момент времени можно рассматривать как вращение вокруг мгновенной оси, проходящей через точку закрепления. Естественно, что положение этой оси как в пространстве, так и относительно самого тела с течением времени в общем случае меняется.

Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно неподвижной системы (или ) — это сложная коническая поверхность с вершиной в точке закрепления. В теоретической механике ее называют неподвижным аксоидом. Геометрическое место положений мгновенной оси вращения относительно подвижной системы жестко связанной с твердым телом, — это тоже коническая поверхность — подвижный аксоид. Например, в случае конуса катящегося по поверхности другого конуса без проскальзывания (рис. 1.21; точка А подвижного конуса шарнирно закреплена) неподвижный аксоид совпадает с поверхностью неподвижного конуса а подвижный аксоид — с поверхностью подвижного конуса

Скорость произвольной точки твердого тела можно рассчитать как линейную скорость вращательного движения вокруг мгновенной оси:

где — радиус-вектор точки относительно начала системы (или совмещенного с точкой закрепления. Следует только иметь в виду, что, в отличие от вращения вокруг неподвижной оси, “плечо” вектора (расстояние рассматриваемой точки до мгновенной оси вращения) является функцией времени.

Рис. 1.21

Ускорение произвольной точки твердого тела

состоит из двух частей: ускорения, связанного с неравномерностью вращения (изменением о по величине и направлению)

и центростремительного (нормального) ускорения

где — радиус-вектор, проведенный от мгновенной оси вращения в рассматриваемую точку. Здесь следует помнить, что угловое ускорение связано с изменением угловой скорости не только по величине, но и по направлению, так что не перпендикулярны друг другу.

Проекции вектора мгновенной угловой скорости о на оси системы жестко связанной с твердым телом, можно выразить через углы Эйлера (см. рис. 1.3) и их производные по времени Действительно, вектор можно представить в виде суммы трех составляющих:

Здесь — единичные векторы вдоль осей соответственно, — единичный вектор вдоль линии узлов (на рис. 1.3 эти орты не показаны). Определим проекции векторов входящих в (1.27), на оси системы (см. рис. 1.3):

Из (1.27 - 1.30) получим:

Уравнения называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они, в частности, позволяют определить величину и направление вектора мгновенной угловой скорости со, если закон движения тела задан в виде (1.22).

Рис. 1.22

В ряде случаев вращение тела с закрепленной точкой вокруг мгновенной оси удобно представить как суперпозицию двух вращений вокруг пересекающихся осей. В случае, изображенном на рис. 1.22, вершина конуса шарнирно закреплена в точке О; ось конуса горизонтальна, а основание конуса катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости . Вектор угловой скорости со направлен вдоль мгновенной оси вращения (скорость точек О и М равна нулю); при движении конуса мгновенная ось вращения изменяет свое положение, описывая некоторую коническую поверхность с вершиной в точке О. Абсолютное вращение конуса с угловой скоростью можно представить в виде суммы

где угловая скорость относительного вращения конуса вокруг собственной оси симметрии, — угловая скорость переносного вращения самой оси конуса вокруг вертикали. Если задана то

где — угол полураствора конуса, — радиус основания конуса, — его высота.

Замечание. Движение тела, представляющее собой одновременное вращение вокруг нескольких осей с угловыми скоростями сор может быть сведено к вращению вокруг одной оси с угловой скоростью

только в том случае, когда все оси вращения пересекаются в одной точке.