Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Центр удара.Опыт показывает, что если тело, закрепленное на оси вращения, испытывает удар, то действие удара в общем случае передается и на ось. При этом величина и направление силы, приложенной к оси, зависят от того, в какую точку тела нанесен удар. Рассмотрим сплошной однородный стержень
Рис. 3.9 Вычислим, на каком расстоянии
Сил реакции со стороны оси, как предполагается, при ударе не возникает, поэтому на основании теоремы о движении центра масс можно записать
где
и в результате из уравнения моментов и уравнения движения центра масс находим
При этом точка С (центр удара) совпадает с так называемым центром качания данного физического маятника — точкой, где надо сосредоточить всю массу твердого тела, чтобы полученный математический маятник имел такой же период колебаний, как и данный физический. В случае сплошного однородного стержня длиной
Замечание. Полученное выражение для I (3.18) справедливо и для произвольного твердого тела. При этом надо только иметь в виду, что точка подвеса тела А и центр масс О должны лежать на одной вертикали, а ось вращения должна совпадать с одной из главных осей инерции тела, проходящих через точку А. Пример 1. При ударах палкой длиной Пример 2. При горизонтальном ударе кием по бильярдному шару (рис. 3.10) шар начинает качение без проскальзывания в том случае, если удар нанесен в точку, находящуюся на высоте
от поверхности бильярда, то есть на Если удар будет нанесен ниже, качение будет сопровождаться скольжением в направлении движении шара. Если удар нанесен выше, то шар в точке касания с бильярдным столом будет проскальзывать назад. Рассмотренные примеры формально не относятся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси, однако все приведенные выше соображения о центре удара, очевидно, остаются в силе и в этих случаях.
Рис. 3.10 II. Плоское движение твердого тела.Напомним, что при плоском движении все точки тела движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, поэтому достаточно рассмотреть движение одного из сечений тела, например, того, в котором лежит центр масс. При разложении плоского движения на поступательное и вращательное скорость поступательного движения определена неоднозначно — она зависит от выбора оси вращения, однако угловая скорость вращательного движения оказывается одной и той же (см. лекцию №1). Если в качестве оси вращения выбрать ось, проходящую через центр масс, то уравнениями движения твердого тела будут: 1. Уравнение движения центра масс
2. Уравнение моментов относительно оси, проходящей через центр
Особенностью плоского движения является то, что ось вращения сохраняет свою ориентацию в пространстве и остается перпендикулярной плоскости, в которой движется центр масс. Еще раз подчеркнем, что уравнение моментов (3.20) записано относительно, в общем случае, ускоренно движущегося центра масс, однако, как было отмечено в начале лекции, оно имеет такой же вид, как и уравнение моментов относительно неподвижной точки. В качестве примера рассмотрим задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости. Приведем два способа решения этой задачи с использованием уравнений динамики твердого тела. Первый способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно оси, проходящей через центр масс (рис. 3.11). Система уравнений (3.19 - 3.20) имеет вид:
К этой системе необходимо добавить уравнение кинематической связи
Последнее уравнение получается из условия, что цилиндр скатывается без проскальзывания, то есть скорость точки М цилиндра равна нулю. Уравнение движения центра масс (3.21) запишем для проекций ускорения и сил на ось
Рис. 3.11 на ось у, совпадающую с осью цилиндра. Направления осей х и у выбраны согласованно, в том смысле, что положительному линейному ускорению оси цилиндра соответствует положительное же угловое ускорение вращения вокруг этой оси. В итоге получим:
Отсюда
Следует подчеркнуть, что
Если цилиндр сплошной, то
Качение без проскальзывания определяется условием
где к — коэффициент трения скольжения,
или
Второй способ. Рассматривается вращение цилиндра относительно неподвижной оси, совпадающей в данный момент времени с мгновенной осью вращения (рис. 3.12). Мгновенная ось вращения проходит через точку соприкосновения цилиндра и плоскости (точку М). При таком подходе отпадает необходимость в уравнении движения центра масс. Уравнение моментов относительно мгновенной оси имеет вид:
Рис. 3.12
Здесь
В проекции на ось вращения (ось
Ускорение центра масс выражается через угловое ускорение
|
1 |
Оглавление
|