Кинетическая энергия при плоском движении.

Кинетическая энергия твердого тела представляет собой сумму кинетических энергий отдельных частиц:

где — скорость центра масс тела, — скорость частицы относительно системы координат, связанной с центром масс и совершающей поступательное движение вместе с ним. Возводя сумму скоростей в квадрат, получим:

так как (суммарный импульс частиц в системе центра масс равен нулю).

Таким образом, кинетическая энергия при плоском движении равна сумме кинетических энергий поступательного и вращательного движений (теорема Кёнига). Если рассматривать плоское движение как вращение вокруг мгновенной оси, то кинетическая энергия тела есть энергия вращательного движения.

В этой связи задачу о скатывании цилиндра с наклонной плоскости можно решить, используя закон сохранения механической энергии (напомним, что сила трения при качении без проскальзывания работу не совершает).

Приращение кинетической энергии цилиндра равно убыли его потенциальной энергии:

Здесь — смещение цилиндра вдоль наклонной плоскости, — момент инерции цилиндра относительно мгновенной оси вращения.

Поскольку скорость оси цилиндра то

Дифференцируя обе части этого уравнения по времени, получим

откуда для линеиного ускорения оси цилиндра будем иметь то же выражение, что и при чисто динамическом способе решения (см. (3.27, 3.36)).

Замечание. Если цилиндр катится с проскальзыванием, то изменение его кинетической энергии будет определяться также и работой сил трения.

III. Движение аксиально симметричного твердого тела, закрепленного в центре масс.

Такое движение можно реализовать с помощью специального устройства, называемого кардановым подвесом (рис. 3.13). Положение тела в подвесе должно быть таким, чтобы оси и пересекались в центре масс. В этом случае при любых возможных движениях тела его центр масс остается неподвижным. При этом ось (в данном случае — ось симметрии тела) может иметь произвольную ориентацию в пространстве.

Задачей о движении твердого тела, закрепленного в точке, занимались многие ученые: Л.Эйлер, большая часть жизни которого была связана с Петербургской Академией Наук, выдающиеся русские ученые Н.Е.Жуковский, С.В.Ковалевская, С.А.Чаплыгин, французские ученые Ж.Лагранж, С.Пуассон, Л.Пуансо. Оказалось, что в общем случае эта задача аналитически неразрешима. Даже в простейшем случае движения твердого тела только под действием силы тяжести точное решение существует лишь в особых частных случаях. Один из этих случаев, когда однородное тело вращения закреплено в центре масс, мы рассмотрим в этой лекции, другой, имеющий отношение к движению гироскопа, — в лекции №4.