Главные оси инерции.

Возникает вопрос: возможен ли для произвольного твердого тела случай, когда векторы и совпадают? Оказывается, что для всякого тела и любой точки О имеются по крайней мере три взаимно перпендикулярных направления (или, другими словами, три взаимно перпендикулярных оси вращения), для которых направления и совпадают. Такие оси называются главными осями инерции тела.

Если оси совместить с главными осями инерции тела, то матрица будет иметь диагональный вид:

Величины в этом случае называются главными моментами инерции тела. При этом

то есть, действительно, если вектор направлен вдоль одной из главных осей инерции тела, то вектор будет направлен точно так же (рис. 2.6).

Расположение главных осей инерции в теле и значения соответствующих главных моментов инерции зависят от выбора точки О. Если О совпадает с центром масс, то главные оси называются главными центральными осями тела. Если главные оси инерции тела известны, то значения главных моментов инерции вычисляются из геометрии масс. Например:

Здесь — расстояние элементарной массы от главной оси

Как же определить главные оси инерции для выбранной точки О твердого тела? Если оси проведены в теле произвольно, то в общем случае они не совпадают с главными осями инерции. Такого совпадения можно добиться путем некоторого поворота исходной системы координат относительно твердого тела. В новых координатах матрица становится диагональной.

Во многих случаях главные оси инерции удается легко определить из соображений симметрии. На рис. изображены главные оси инерции для различных точек тел, обладающих определенной симметрией: цилиндра (рис. 2.7), прямоугольного параллелепипеда (рис. 2.8), куба (рис. 2.9) и шара Легко сообразить, что во всех этих случаях Например, в случае прямоугольного

Рис. 2.6

параллелепипеда так как для всякой массы с данными значениями найдется симметрично расположенная масса с теми же значениями но с противоположным значением

Рис. 2.7

Рис. 2.8

Рис. 2.9

Рис. 2.10

В заключение этого раздела рассмотрим пример нахождения главных осей инерции для плоской прямоугольной пластинки со сторонами а и масса которой (рис. 2.11).

Рис. 2.11

Ясно, что одна из главных осей инерции для точки О (ось перпендикулярна плоскости пластинки; на рис. 2.11 она не показана. Оси направленные вдоль сторон пластинки, не являются главными. Действительно, в этом случае

Допустим, что оси повернутые на угол а относительно осей — главные оси инерции для точки О. Соответствующее преобразование координат имеет вид:

Тогда будем иметь

Здесь учтено, что для главных осей

Аналогично

Подставляя в (2.23 - 2.25) значения из (2.18 - 2.20), получим систему трех уравнений для нахождения

Из этой системы, в частности, легко получить, что

Для сравнения: если — угол между осью и диагональю прямоугольной пластинки, то

то есть . Это означает, что главная ось инерции не проходит через центр пластинки. И только в случае квадрата, когда главная ось инерции будет направлена по диагонали квадрата. Этот пример наглядно показывает, что если главные оси инерции — нецентральные, то ни одна из них в принципе может и не проходить через центр масс тела.