Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

§ 1. Рациональные алгебраические выражения

19. Алгебраические выражения. Одночлены и многочлены.

Буквенные обозначения, применяемые в алгебре, дают возможность записать общее правило решения множества однотипных задач в виде некоторой формулы. Такая формула показывает, какие действия (и в какой последовательности) следует произвести над определенными величинами, чтобы получить нужный результат. Так, сумма членов геометрической прогрессии (см. (91.2)) задается формулой

где — первый член прогрессии, знаменатель; площадь треугольника определяется формулой

где - высота треугольника, его основание (201.1), и т. д.

Зная числовые значения величин (буквенных параметров) в правой части формулы, можно, выполняя указанные действия, найти числовое значение искомой величины. Правые части написанных формул дают нам примеры алгебраических выражений; другие примеры алгебраических выражений:

Нет необходимости в строгом определении понятия алгебраического выражения: этот термин можно применять всякий раз, когда дана запись, указывающая алгебраические действия, производимые над некоторыми числами и буквенными величинами.

Если в записи алгебраического выражения используют только рациональные (целые рациональные) действия над буквенными величинами, то оно называется рациональным (целым рациональным) алгебраическим выражением. Первые два выражения (19.1) рациональны.

При подстановке вместо букв указанных числовых значений данное алгебраическое выражение принимает определенное числовое значение (если все действия выполнимы).

Выражение имеет смысл при всех значениях а и b, не равных между собой, т. е. при .

Выражение имеет смысл (везде, если не оговорено противное, мы ограничиваемся только действительной областью) при

Пример 1. Найти значение алгебраического выражения при следующих значениях

Решение.

в) выражение не имеет смысла, так как знаменатель обращается в нуль.

Множество всех наборов числовых значений букв, входящих в данное алгебраическое выражение, часто называют областью допустимых значений (о. д. з.). В примере 1 области допустимых значений принадлежат любые тройки значений а, при условии, что .

Два различных по виду алгебраических выражения могут тем не менее иметь равные числовые значения при любых допустимых значениях буквенных параметров (и одинаковые о. д. з.). Вот примеры такого рода:

В таких случаях говорят, что эти алгебраические выражения тождественно равны и пишут:

(часто вместо знака тождественного равенства употребляют просто знак равенства ).

В некоторых случаях о. д. з. двух алгебраических выражений могут различаться, но выражения все же равны при всех значениях буквенных параметров, при которых они оба определены. Таковы выражения

В первом случае левое выражение не определено при а = 1 (а правое определено). Во втором случае левое выражение не имеет смысла при , а правое — при , в остальных же случаях они равны. В таких случаях равенства

также часто называют тождественными, подразумевая при этом, что буквенные параметры принимают только значения, при которых имеют смысл оба выражения. Вообще, во избежание неясности лучше говорить так: «данные выражения тождественно равны при значениях буквенных параметров...», указывая область изменения этих параметров, в которой оба выражения принимают равные значения. Так, например, мы называем равенство

тождеством, подразумевая, что а — действительное число. При комплексном а это равенство уже не будет тождеством. Можно сказать, что равенство

удовлетворяется тождественно для всех неотрицательных а (оно не будет тождеством, если рассматривать все действительные значения а).

Одним из основных навыков в области алгебры должно быть умение переходить от одного алгебраического выражения к другому, ему тождественному, более простому или удобному. Такой переход осуществляется с помощью тождественных преобразований. Практически при выполнении этих преобразований встречаются и случаи, когда происходят некоторые изменения о. д. з. На это всякий раз необходимо обращать внимание, так как иначе может быть допущена ошибка.

Например, при решении уравнения

«тождественное» преобразование левой части

дало бы нам «решение» х = 0 — значение, при котором исходное уравнение теряет смысл. Преобразование (19.2) изменяет о. д. з., и, выполняя его, следует исключить значение .

Простейшие алгебраические выражения суть одночлены и многочлены. Следующие алгебраические выражения-:

дают нам примеры одночленов. Вообще, одночленом называют выражение, получаемое при умножении числового множителя (коэффициента) на один или несколько буквенных сомножителей. Обычно при этом буквенные сомножители располагают в порядке алфавита, одинаковые сомножители объединяют вместе, пользуясь знаком возведения в степень:

Произведение нескольких одночленов также есть одночлен.

Многочленом (полиномом) называют алгебраическое выражение, представленное как алгебраическая сумма нескольких одночленов, например:

Одночлены, отличающиеся только числовым коэффициентом, называют подобными, так, в записи первого многочлена в (19.3) подобны одночлены такие одночлены можно объединить в один одночлен: . При записи многочлена следует произвести это действие, называемое приведением подобных членов.

Сумма двух многочленов сама непосредственно является многочленом (в ней следует лишь привести подобные члены). Сформулируем также известные правила умножения одночлена на многочлен и умножения двух многочленов.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, следует умножить на этот одночлен каждый член многочлена, чтобы умножить многочлен на многочлен, следует умножить каждый из одночленов, входящих в запись одного многочлена, на каждый из одночленов второго многочлена (и взять сумму полученных одночленов с учетом правила знаков).

Оба правила вытекают из применения распределительного закона умножения относительно сложения (1.6).

Пример 2. .

Пример 3.