Упражнения

11.1. Матрица путей дерева Т с соответствующей вершиной определяется следующим образом: Если ветвь является единственным путем в Т от вершины то или в зависимости от того, соответствует или нет ориентация ветви направлению этого пути, в противном случае Используя узловое преобразование, покажите, что где А является усеченной матрицей инциденций Т по вершине и выведите теорему 6.12.

11.2. Получите контурную систему уравнений планарной цепи, используя ячейки как независимые циклы.

11.3. Пусть N — планарная цепь. Пусть планарная цепь N строится следующим образом:

а) граф N является двойственным графу N. Пусть являются соответствующими элементами

б) если — резистор величиной R Ом, то — резистор величиной

в) если — емкость (индуктивность) величиной К фарад (генри), то — индуктивность (емкость) величиной К генри (фарад);

г) если — источник тока (напряжения) величиной то —источник напряжения (тока) величиной

Определите ориентации источников тока и напряжения в N так, чтобы контурные уравнения N (с ячейками, выбранными в качестве независимых циклов) стали узловыми уравнениями N, где переменные контурных токов заменяются переменными узловых напряжений. Можно принять, что все ячейки из N ориентированы по часовой стрелке. (Цепи N и N, определенные, как описано выше, называются двойственными цепями.)

11.4. Постройте двойственную цепь к цепи, показанной на рис. 11.8,

Рис. 11.8.

11.5. Определите все напряжения и токи в цепи, представленной на рис. 11.9, используя контурный метод анализа.

11.6. Повторите упражнение 11.5, используя методы сечения и смешанных переменных.

Рис. 11.9.

Рис. 11.10.

11.7. Найдите главное разбиение графа, представленного на рис. 11.10.

11.8. а) Получите уравнения состояния цепи, показанной на рис. 11.11. б) Выразите токи и напряжения через резисторы, исходя из переменных состояния и переменных источников.

Рис. 11.11.

11.9. Порядком сложности электрической цепи N является максимальное число начальных условий, которые можно выбрать для цепи N. Оно совпадает с максимальным числом динамически независимых токов и напряжений на элементах, мгновенные значения которых достаточны для того, чтобы определить мгновенное состояние цепи. Более того, оно также равно числу собственных частот цепи

Докажите следующее для RLC-цепи:

а) Порядок сложности N равен числу реактивных элементов, меньшему суммы чисел линейно-независимых сечений, состоящих только из индуктивностей, и чисел линейно-независимых контуров, состоящих только из емкостей.

б) Число ненулевых собственных частот цепи N равно порядку сложности N, меньшему суммы чисел линейно-независимых сечений, состоящих только из емкостей, и чисел линейно-независимых цепей, состоящих только из индуктивностей.