13.2. Топологические формулы для общих линейных цепей

В этом разделе выводятся топологические формулы для общих линейных инвариантных по времени цепей с сосредоточенными параметрами. Эти формулы выражаются в виде произведений проводимостей ориентированных деревьев и -деревьев соответствующего ориентированного графа, связанного с данной цепью.

Рис. 13.4. Цепь с зажимами.

Отправной точкой для вывода этих формул является матрица неопределенных проводимостей, которую мы теперь определяем.

Рассмотрим цепь зажимами . Пусть — напряжения на этих зажимах относительно произвольного (внешнего к цепи) зажима 0. Пусть — токи, текущие к этим зажимам (рис. 13.4) при наличии внешних соединений.

Матрица Y, описывающая эти токи и напряжения на входах, известна как матрица неопределенных проводимостей цепи N. Таким образом, т. е.

    (13.22)

Если говорить о цепи N как о -полюсной, в которой зажим и внешний зажим 0 образуют полюс, то можно видеть, что матрица неопределенных проводимостей f — матрица проводимостей короткого замыкания такой -полюсной цепи. Таким образом,

Другими словами, если подсоединить источник напряжения единичной мощности между зажимом k и внешним зажимом 0 и замкнуть все остальные зажимы на внешний зажим, то величина тока , входящего в зажим равна Можно использовать эту интерпретацию для того, чтобы вычислить все элементы матрицы

9. Например, можно показать, что матрица неопределенных проводимостей цепи на рис. 13.5 имеет вид

    (13.23)

Этот пример заимствован из работы [13.3]. Далее будут установлены два полезных свойства матрицы неопределенных проводимостей.

Рис. 13.5.

В соответствии с законом Кирхгофа для токов Следовательно

Заметим, что все напряжения являются независимыми. Предположим, установлено, что для всех Тогда приведенные выше выражения сводятся к следующему: Поскольку отсюда следует, что Таким образом, сумма всех элементов в каждом столбце матрицы неопределенных проводимостей равна нулю. Аналогичный результат можно получить для строк матрицы Y, а именно сумма всех элементов в любой строке матрицы Y равна нулю.

Таким образом, можно сформулировать следующий результат:

Теорема 13.4. Матрица неопределенных проводимостей электрической цепи является матрицей равных алгебраических дополнений.

Другой привлекательной чертой матрицы неопределенных проводимостей является то, что она дает базовое описание цепи в том смысле, что некоторые другие описания цепи получаются исходя из этой матрицы.

Например, матрицу узловых проводимостей с выделенным элементом можно получить удалением строки и столбца из матрицы неопределенных проводимостей. Для более детального

Рис. 13.6. а — граф, соответствующий матрице неопределенных проводимостей (13. 23); б — ориентированное дерево, ориентированное 2-дерево, ориентированное 3-дерево.

обсуждения применения матрицы неопределенных проводимостей в анализе активных цепей рекомендуем работу [13.3].

Далее рассмотрим топологическую оценку алгебраических дополнений матрицы неопределенных проводимостей. Для данной матрицы неопределенных проводимостей Y цепи N, имеющей узлов, сначала построим взвешенный ориентированный граф следующим образом: имеет узлов, отмеченных целыми числами . Если для то существует ребро в графе направленное от узла i к узлу j с весом Например, ориентированный граф, связанный с матрицей неопределенных проводимостей (13.23), представлен на рис. 13.6, а.

В последующем изложении обозначим через ориентированный остов в графе с узлом i в качестве корня. Ориентированное остовное -дерево в графе есть такое остовное -дерево в неориентированном графе, что каждая компонента ориентированного -дерева является ориентированным деревом в графе Обозначим через такое остовное ориентированное -дерево, что 1) узлы находятся в одной компоненте, а узлы k и I — в разных компонентах и 2) узлы i и k являются корнями компонент

. Ориентированное остовное -дерево определяется аналогично. Узлы являются корнями трех компонент -дерева Примеры ориентированного остова, остовных -дерева и -дерева показаны на рис. 13.6, б.

Пусть также определены:

— сумма произведений проводимостей всех ориентированных остовов из графа

— сумма произведений проводимостей всех остовных ориентированных -деревьев из графа

— сумма произведений проводимостей всех остовных ориентированных -деревьев из графа

Можно показать (упражнение 6.18), что

    (13.24)

В следующей теореме сформулировано соотношение между алгебраическими дополнениями порядка (У) и произведениями проводимостей соответствующего ориентированного -дерева.

Теорема 13.5. Пусть Y — матрица неопределенных проводимостей цепи N. Тогда

Доказательство. Пусть G — ориентированный граф, полученный из графа изменением весов ребер со значений на значения соответственно. Пусть Y — соответствующая матрица алгебраических дополнений. Будем говорить о ребре в графе G как состоящем из двух параллельных ребер с весами и К соответственно. Аналогично будем рассматривать ребро как состоящее из двух параллельных ребер с весами и соответственно.

    (13.25)

где значок используется для обозначения величин, относящихся к графам Y и G. Произведем разбиение множества S всех ориентированных остовов из графа G на три множества определенных следующим образом: и ни ни не принадлежат принадлежит и существует ориентированный путь из i в во множестве Поскольку граф G можно получить из графа G, полагая то отсюда следует, что

Для любого ориентированного остова является ориентированным остовным -деревом из графа и наоборот. Таким образом, 2 произведения проводимостей произведения проводимостей

Теперь отметим, что любое ориентированное дерево относится к одному из следующих типов: 1) содержит, содержит и в Т

не существует ориентированного пути из в I. Нетрудно видеть, что для каждого первого типа существует единственное ориентированное дерево которое относится ко второму типу, и наоборот. Произведение проводимостей данного дерева имеет обратный знак по отношению к произведению проводимостей другого. Поэтому

2 произведения проводимостей

Из выражения (13.26) с использованием равенства (13.28) получаем

    (13.29)

Наконец, имеем также следующее соотношение:

    (13.30)

Из выражений (13.29, и (13.30) получаем

Нетрудно показать, используя теорему что

    (13.31)

Теперь приступим к выводу топологических формул для функций холостого хода и короткого замыкания общей линейной цепи с сосредоточенными параметрами.

Рис. 13.7. Усложненная -полюсная цепь.

Рассмотрим -полюсную цепь N, представленную на рис. 13.7. Пусть У — ее матрица проводимостей узлов с отмеченным узлом . Эту матрицу можно получить, удалив строку и столбец из матрицы неопределенных проводимостей У цепи N. Тогда

Исходя из узловых уравнений можно получить матрицы полных сопротивлений короткого замыкания и проводимостей холостого хода цепи N в следующем виде:

Чтобы получить топологические формулы для элементов сначала замечаем, используя формулу (13.24), что

Применяя также теорему 13.5, имеем

    (13.35)

Теперь

    (13.38)

Последний шаг в приведенном выше уравнении следует из тождества Таким образом, из теоремы 13.5 следует

    (13.39)

Далее,

    (13.40)

На основе приведенных уравнений получаем следующий результат.

Теорема 13.6. Пусть N является -полюсной цепью с положительными и отрицательными зажимами полюсов, как показано на рис. 13.7. Тогда матрица полных сопротивлений холостого хода и матрица проводимостей короткого замыкания цепи N определяется выражениями

Проиллюстрируем топологическое определение используя теорему 13.6.

Снова рассмотрим цепь N на рис. 13.5 с узлами 1 и 4, образующими полюс 1, и узлами 2 и 4, образующими полюс 2. Матрица неопределенных проводимостей У цепи N дана в (13.23). Граф соответствующий Y, показан на рис. 13.6, а.

Чтобы вычислить используя теорему 13.6, необходимо вычислить для графа значения Сначала получим искомые остовы, остовные

2-деревья и -деревья графа

[Заметим, что является ребром, направленным от i к

Отсюда получаем следующие произведения проводимостей:

Таким образом, получаем