11.1. Преобразование контуров и сечений

В этом разделе исследуем соотношения между токами и напряжениями на элементах цепи N. Эти соотношения вытекают из законов Кирхгофа и отношения ортогональности между цикломатической матрицей и матрицей сечений цепи N. Не нарушая общности, можно считать, что граф N — связный.

Пусть Т является остовом цепи обозначают фундаментальную цикломатическую матрицу и матрицу сечений по отношению к Т. Тогда уравнения Кирхгофа для токов и напряжений будут иметь вид

Предположим, что разделены следующим образом:

где векторы, отвечающие хордам и ветвям остова Т, отличаются подстрочными индексами соответственно. Тогда выражения (11.1) и (11.2) можно записать в виде

Заметим, что [выражение (6.13)]

Сначала рассмотрим выражение (11.3). Из него получаем

Таким образом, ток можно представить в виде

Исходя из выражения (11.4), аналогично можно показать, что

В результате имеем следующую теорему:

Теорема 11.1. 1. Все токи, текущие через элементы электрической цепи N, можно выразить линейной комбинацией хордовых токов, т. е. токов, связанных с хордами остова N.

2. Все напряжения на элементах электрической цепи N можно выразить линейной комбинацией напряжений на ветвях, т. е. напряжений, связанных с ветвями остова цепи

Для иллюстрации выражений (11.7) и (11.8) рассмотрим цепь N, представленную на рис. 11.2.

Матрицами В j и по отношению к остову Т, состоящему из элементов 1, 4 и 5, будут матрицы

Тогда можно выразить следующим образом:

Теорема 11.2. Пусть N - электрическая цепь ранга с цикломатическим числом . Пусть матрица, полученная из любых независимых строк цикломатической матрицы цепи матрица, полученная из любых независимых строк матрицы разрезов цепи

1. Контурное преобразование. Вектор-столбец удовлетворяет уравнениям ЗКТ цепи N тогда и только тогда, когда существует такой вектор столбец из элементов, что

2. Преобразование сечений. Вектор-столбец удовлетворяет уравнениям ЗКН цепи N тогда и только тогда, когда существует такой вектор-столбец V из элементов, что

    (11.10)

Доказательство. 1. Пусть -базисная цикломатическая матрица цепи. Тогда существует такая невырожденная матрица что

    (11.11)

Если удовлетворяет уравнениям ЗКТ, то из выражения (11.7) имеем Подставляя (11.11) в приведенное выше уравнение и полагая получим ВГ. С другой стороны, если существует такой ток что то по теореме 6.6 и ЗКТ выполнен.

Доказательство п. 2 следует из принципа двойственности. Уравнения (11.9) и (11.10) известны как контурное преобразование и преобразование сечения соответственно. Элементы Г и V называются переменными контуров и сечений соответственно. В общем случае переменные контуров и сечений являются линейными комбинациями на ветвях хордовых токов и напряжений соответственно. Однако, если использовать в контурном преобразовании (сечения), то хордовые токи (напряжения на ветвях) становятся переменными контура (сечения). Преобразование

    (11.12)

где А — усеченная матрица инциденции, называется узловым преобразованием. Очевидно, что это специальный случай преобразования сечений. Если является узлом, по которому усечена матрица А, то элементы V можно определить как напряжения на всех узлах (кроме ) по отношению к Об этих напряжениях говорят как об опорных или базисных на узлах напряжениях или просто как о напряжениях на узлах цепи.

Мы заканчиваем этот раздел интересным результатом, полученным Теллеженом [11.1], который просто следует из контурного преобразования и преобразования сечений.

Теорема 11.3 (Теллежен). Рассмотрим такие две электрические цепи N и N, что соответствующие им графы являются идентичными. Пусть — векторы напряжений на элементах цепей N и N соответственно, а Iе и — соответствующие векторы токов в элементах.

Тогда

Доказательство. 1. Пусть и обозначают базисную цикломатическую матрицу и матрицу сечений цепи N по отношению к остову Т. Так как граф N такой же, как и N, ясно, что N имеет такие же матрицы по отношению к Т. Из контурного преобразования и преобразования сечений имеем Таким образом, согласно теореме (6.6).

Доказательство п. 2 следует из принципа двойственности. Теорема Теллежена является очень глубоким результатом в теории цепей с несколькими приложениями [11.2, 11.3]. В гл. 13 обсуждаются применения этой теоремы при вычислении чувствительности цепи с использованием понятия сопряжения сети [11.4-11.6].