10. Матроиды

Рассмотрим конечное множество векторов S над произвольным полем. Хорошо известно, что любое подмножество S либо линейно зависимо, либо линейно независимо. Кроме того, набор независимых множеств векторов обладает некоторыми свойствами. Например;

1. Любое подмножество независимого множества независимо.

2. Если — такие независимые множества, что то вместе с некоторым элементом образует независимое множество из элементов.

Интересно, что существует несколько алгебраических систем, обладающих этими свойствами. Например, ими обладает набор подмножеств ребер графа, не содержащих циклов. Изучая свойства таких систем, Уитни [10.11 ввел понятие матроида.

В этой главе мы даем введение в теорию матроидов. Мы изучим их некоторые фундаментальные свойства. Особый интерес будет проявлен к тому, что замеченная нами «двойственность» циклов и разрезающих множеств графа не случайна. Как мы увидим, эта двойственность является следствием того, что и набор подграфов, не имеющих циклов, и набор подграфов, не имеющих разрезающих множеств, имеют структуру матроида. Мы изучим также теорему о раскрашивании и лемму о раскраске дуг, которые находят применение в анализе сетей. Главу мы завершаем обсуждением «жадного» алгоритма, являющегося обобщением известного алгоритма Краскала нахождения остова минимальной стоимости во взвешенном связном графе.

10.1. Основные определения

Существует несколько эквивалентных систем аксиом, характеризующих матроид. Мы начнем обсуждение с системы, известной под названием аксиом независимости. В разд. 10.3 мы приведем другие эквивалентные системы аксиом.

Матроид М — это конечное множество S и набор таких подмножеств множества S, что выполняются следующие условия, называемые аксиомами независимости:

1.3. Если X и Y — члены , то существует такое что

Элементы множества S называются элементами матроида М.

Члены набора f называются независимыми множествами матроида М. Максимальное по включению независимое множество матроида М называется базой матроида М. Множество баз матроида М обозначается или просто

Подмножество S, не принадлежащее набору , называется зависимым. Минимальное по включению зависимое подмножество S называется циклом матроида М. Элемент называется петлей матроида М, если зависимо. Набор циклов матроида М обозначается или просто

Функция ранга матроида М связывает со всяким подмножеством неотрицательное целое число, определяемое следующим образом: где — ранг подмножества А. Ранг матроида М, обозначаемый это ранг множества

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть S — конечное подмножество векторного пространства. Как мы видели ранее, семейство всех подмножеств линейно независимых векторов в подмножестве S удовлетворяет аксиомам независимости 1.1-1.3. Следовательно, эти подмножества S образуют набор независимых множеств матроида на подмножестве S. Ранг подмножества в этом матроиде равен размерности векторного пространства, порождаемого X.

Пусть G — неориентированный граф с множеством ребер Е. Определим на Е два матроида.

Сначала рассмотрим набор всех подмножеств Е, не содержащих циклов. Очевидно, что удовлетворяет аксиомам 1.1 и 1.2. Нетрудно показать (упражнение 4.8), что удовлетворяет и 1.3. Таким образом, является набором независимых множеств матроида М на Е. Каждая база матроида М — это остовный лес графа G. Ранг любого подмножества в этом матроиде равен рангу подграфа графа G, порождаемого X. Кроме того, каждый цикл матроида М является циклом графа G. По этой причине М называется циклическим матроидом графа

Рассмотрим теперь семейство всех подмножеств Е, не содержащих разрезающих множеств графа G. Можно показать (упражнение 4.9), что (F удовлетворяет аксиомам и поэтому является семейством независимых множеств матроида М на Е. Любая база матроида М — это коостовный лес графа G. В этом матроиде ранг подмножества равен цикломатическому числу порождаемого X подграфа графа G. Кроме того, каждый цикл М является разрезающим множеством графа G. Матроид М называется матроидом разрезов или матроидом связей графа G.

Определенные таким образом матроиды обладают интересным свойством, заключающимся в том, что базы одного из них являются дополнениями в Е баз другого. Это утверждение справедливо для любого матроида на произвольном конечном S (не обязательно

множестве ребер графа). Говоря другими словами, для любого матроида М на множестве S существует такой матроид М на S, что базы матроида М являются дополнениями баз матроида М, Этот результат мы обсуждаем в разд. 10.4.

Другим примером матроида является матроид паросочетаний, определенный на множестве вершин графа.

Теорема 10.1. Пусть G — неориентированный граф с множеством вершин V. Пусть — набор всех таких подмножеств , что элементы насыщаются в некотором паросочетании графа G. Тогда — набор независимых множеств матроида на V.

Доказательство. Очевидно, что удовлетворяет аксиомам 1.1 и 1.2.

Чтобы показать, что удовлетворяет аксиоме 1.3, рассмотрим два произвольных члена набора содержащие вершин соответственно. Пусть — произвольные паросочетания, насыщающие элементы соответственно. Возможны два случая.

Случай 1. Предположим, что некоторый элемент насыщается в Тогда насыщает и аксиома 1.3 выполняется.

Случай 2. Допустим, что никакой элемент не насыщается в Тогда рассмотрим подграф G на множестве ребер По теореме 8.19 каждая компонента подграфа G является 1) циклом, ребра которого входят поочередно в либо 2) путем, ребра которого входят поочередно в а его концевые вершины в одном из паросочетаний не насыщены.

Так как в подграфе G существует путь Р от вершины к вершине, лежащей вне Тогда будет паросочетанием, насыщающим v и все элементы Таким образом, входит в и выполняется аксиома 1.3.

В качестве примера рассмотрим граф G, представленный на рис. 10.1, а. Множества насыщаются в паросочетанияx соответственно.

Рис. 10.1. а — граф G с помеченными паросочетаниями X и б — подграф G на множестве ребер

Подграф на множестве ребер показан на рис. 10.1, б. Существует путь Р от вершины к вершине Паросочетание насыщает множество

Два матроида и на множествах и S, соответственно называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами множеств сохраняющее независимость.

Матроид М на множестве S называется графическим, если он изоморфен циклическому матроиду графа G. Если матроид М изоморфен матроиду разрезов графа G, он называется кографическим.