Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
10. МатроидыРассмотрим конечное множество векторов S над произвольным полем. Хорошо известно, что любое подмножество S либо линейно зависимо, либо линейно независимо. Кроме того, набор независимых множеств векторов обладает некоторыми свойствами. Например; 1. Любое подмножество независимого множества независимо. 2. Если Интересно, что существует несколько алгебраических систем, обладающих этими свойствами. Например, ими обладает набор подмножеств ребер графа, не содержащих циклов. Изучая свойства таких систем, Уитни [10.11 ввел понятие матроида. В этой главе мы даем введение в теорию матроидов. Мы изучим их некоторые фундаментальные свойства. Особый интерес будет проявлен к тому, что замеченная нами «двойственность» циклов и разрезающих множеств графа не случайна. Как мы увидим, эта двойственность является следствием того, что и набор подграфов, не имеющих циклов, и набор подграфов, не имеющих разрезающих множеств, имеют структуру матроида. Мы изучим также теорему о раскрашивании и лемму о раскраске дуг, которые находят применение в анализе сетей. Главу мы завершаем обсуждением «жадного» алгоритма, являющегося обобщением известного алгоритма Краскала нахождения остова минимальной стоимости во взвешенном связном графе. 10.1. Основные определенияСуществует несколько эквивалентных систем аксиом, характеризующих матроид. Мы начнем обсуждение с системы, известной под названием аксиом независимости. В разд. 10.3 мы приведем другие эквивалентные системы аксиом. Матроид М — это конечное множество S и набор
1.3. Если X и Y — члены Элементы множества S называются элементами матроида М. Члены набора f называются независимыми множествами матроида М. Максимальное по включению независимое множество матроида М называется базой матроида М. Множество баз матроида М обозначается Подмножество S, не принадлежащее набору Функция ранга Рассмотрим несколько примеров. Пусть S — конечное подмножество векторного пространства. Как мы видели ранее, семейство всех подмножеств линейно независимых векторов в подмножестве S удовлетворяет аксиомам независимости 1.1-1.3. Следовательно, эти подмножества S образуют набор независимых множеств матроида на подмножестве S. Ранг подмножества Пусть G — неориентированный граф с множеством ребер Е. Определим на Е два матроида. Сначала рассмотрим набор Рассмотрим теперь семейство Определенные таким образом матроиды множестве ребер графа). Говоря другими словами, для любого матроида М на множестве S существует такой матроид М на S, что базы матроида М являются дополнениями баз матроида М, Этот результат мы обсуждаем в разд. 10.4. Другим примером матроида является матроид паросочетаний, определенный на множестве вершин графа. Теорема 10.1. Пусть G — неориентированный граф с множеством вершин V. Пусть Доказательство. Очевидно, что Чтобы показать, что удовлетворяет аксиоме 1.3, рассмотрим два произвольных члена Случай 1. Предположим, что некоторый элемент Случай 2. Допустим, что никакой элемент Так как В качестве примера рассмотрим граф G, представленный на рис. 10.1, а. Множества
Рис. 10.1. а — граф G с помеченными паросочетаниями X и Подграф на множестве ребер Два матроида Матроид М на множестве S называется графическим, если он изоморфен циклическому матроиду графа G. Если матроид М изоморфен матроиду разрезов графа G, он называется кографическим.
|
1 |
Оглавление
|