Главная > Графы, сети и алгоритмы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10. Матроиды

Рассмотрим конечное множество векторов S над произвольным полем. Хорошо известно, что любое подмножество S либо линейно зависимо, либо линейно независимо. Кроме того, набор независимых множеств векторов обладает некоторыми свойствами. Например;

1. Любое подмножество независимого множества независимо.

2. Если — такие независимые множества, что то вместе с некоторым элементом образует независимое множество из элементов.

Интересно, что существует несколько алгебраических систем, обладающих этими свойствами. Например, ими обладает набор подмножеств ребер графа, не содержащих циклов. Изучая свойства таких систем, Уитни [10.11 ввел понятие матроида.

В этой главе мы даем введение в теорию матроидов. Мы изучим их некоторые фундаментальные свойства. Особый интерес будет проявлен к тому, что замеченная нами «двойственность» циклов и разрезающих множеств графа не случайна. Как мы увидим, эта двойственность является следствием того, что и набор подграфов, не имеющих циклов, и набор подграфов, не имеющих разрезающих множеств, имеют структуру матроида. Мы изучим также теорему о раскрашивании и лемму о раскраске дуг, которые находят применение в анализе сетей. Главу мы завершаем обсуждением «жадного» алгоритма, являющегося обобщением известного алгоритма Краскала нахождения остова минимальной стоимости во взвешенном связном графе.

10.1. Основные определения

Существует несколько эквивалентных систем аксиом, характеризующих матроид. Мы начнем обсуждение с системы, известной под названием аксиом независимости. В разд. 10.3 мы приведем другие эквивалентные системы аксиом.

Матроид М — это конечное множество S и набор таких подмножеств множества S, что выполняются следующие условия, называемые аксиомами независимости:

1.3. Если X и Y — члены , то существует такое что

Элементы множества S называются элементами матроида М.

Члены набора f называются независимыми множествами матроида М. Максимальное по включению независимое множество матроида М называется базой матроида М. Множество баз матроида М обозначается или просто

Подмножество S, не принадлежащее набору , называется зависимым. Минимальное по включению зависимое подмножество S называется циклом матроида М. Элемент называется петлей матроида М, если зависимо. Набор циклов матроида М обозначается или просто

Функция ранга матроида М связывает со всяким подмножеством неотрицательное целое число, определяемое следующим образом: где — ранг подмножества А. Ранг матроида М, обозначаемый это ранг множества

Рассмотрим несколько примеров.

Пусть S — конечное подмножество векторного пространства. Как мы видели ранее, семейство всех подмножеств линейно независимых векторов в подмножестве S удовлетворяет аксиомам независимости 1.1-1.3. Следовательно, эти подмножества S образуют набор независимых множеств матроида на подмножестве S. Ранг подмножества в этом матроиде равен размерности векторного пространства, порождаемого X.

Пусть G — неориентированный граф с множеством ребер Е. Определим на Е два матроида.

Сначала рассмотрим набор всех подмножеств Е, не содержащих циклов. Очевидно, что удовлетворяет аксиомам 1.1 и 1.2. Нетрудно показать (упражнение 4.8), что удовлетворяет и 1.3. Таким образом, является набором независимых множеств матроида М на Е. Каждая база матроида М — это остовный лес графа G. Ранг любого подмножества в этом матроиде равен рангу подграфа графа G, порождаемого X. Кроме того, каждый цикл матроида М является циклом графа G. По этой причине М называется циклическим матроидом графа

Рассмотрим теперь семейство всех подмножеств Е, не содержащих разрезающих множеств графа G. Можно показать (упражнение 4.9), что (F удовлетворяет аксиомам и поэтому является семейством независимых множеств матроида М на Е. Любая база матроида М — это коостовный лес графа G. В этом матроиде ранг подмножества равен цикломатическому числу порождаемого X подграфа графа G. Кроме того, каждый цикл М является разрезающим множеством графа G. Матроид М называется матроидом разрезов или матроидом связей графа G.

Определенные таким образом матроиды обладают интересным свойством, заключающимся в том, что базы одного из них являются дополнениями в Е баз другого. Это утверждение справедливо для любого матроида на произвольном конечном S (не обязательно

множестве ребер графа). Говоря другими словами, для любого матроида М на множестве S существует такой матроид М на S, что базы матроида М являются дополнениями баз матроида М, Этот результат мы обсуждаем в разд. 10.4.

Другим примером матроида является матроид паросочетаний, определенный на множестве вершин графа.

Теорема 10.1. Пусть G — неориентированный граф с множеством вершин V. Пусть — набор всех таких подмножеств , что элементы насыщаются в некотором паросочетании графа G. Тогда — набор независимых множеств матроида на V.

Доказательство. Очевидно, что удовлетворяет аксиомам 1.1 и 1.2.

Чтобы показать, что удовлетворяет аксиоме 1.3, рассмотрим два произвольных члена набора содержащие вершин соответственно. Пусть — произвольные паросочетания, насыщающие элементы соответственно. Возможны два случая.

Случай 1. Предположим, что некоторый элемент насыщается в Тогда насыщает и аксиома 1.3 выполняется.

Случай 2. Допустим, что никакой элемент не насыщается в Тогда рассмотрим подграф G на множестве ребер По теореме 8.19 каждая компонента подграфа G является 1) циклом, ребра которого входят поочередно в либо 2) путем, ребра которого входят поочередно в а его концевые вершины в одном из паросочетаний не насыщены.

Так как в подграфе G существует путь Р от вершины к вершине, лежащей вне Тогда будет паросочетанием, насыщающим v и все элементы Таким образом, входит в и выполняется аксиома 1.3.

В качестве примера рассмотрим граф G, представленный на рис. 10.1, а. Множества насыщаются в паросочетанияx соответственно.

Рис. 10.1. а — граф G с помеченными паросочетаниями X и б — подграф G на множестве ребер

Подграф на множестве ребер показан на рис. 10.1, б. Существует путь Р от вершины к вершине Паросочетание насыщает множество

Два матроида и на множествах и S, соответственно называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие между элементами множеств сохраняющее независимость.

Матроид М на множестве S называется графическим, если он изоморфен циклическому матроиду графа G. Если матроид М изоморфен матроиду разрезов графа G, он называется кографическим.

1
Оглавление
email@scask.ru