12. Резистивные n-полюсные цепи

12.1. Введение

Цепь называется n-полюсной, если она имеет пар доступных зажимов для подсоединения внешних устройств, например источников тока или напряжения. Каждая пара таких доступных зажимов называется полюсом. Очевидно, что -полюсная цепь может иметь максимум различных полюсных зажимов, в случае когда каждый полюс имеет свою собственную пару зажимов, и минимум различных полюсных зажимов. Последний случай возникает, например, когда один зажим является общим для всех полюсов. Вершины -полюсной цепи, отличные от полюсных входов, называются внутренними вершинами цепи. Каждый полюс -полюсной цепи связан с двумя переменными — напряжением между зажимами полюса и током, текущим через полюс. На рис. 12.1 представлена -полюсная цепь с 6 зажимами. Ссылки на полюсные напряжения и токи будут приниматься в соответствии с рис. 12.1.

Рис. 12.1. 3-полюсная цепь с 6 зажимами.

При представлении -полюсной цепи в виде ориентированного графа каждый ее полюс будет рассматриваться как ребро, называемое полюсным ребром, связывающим соответствующие зажимы полюса. Полюсное ребро можно рассматривать в качестве внешнего устройства, подключенного к полюсу. Подграф из полюсных ребер вместе с указанием положительных или отрицательных зажимов каждого полюса называется полюсной конфигурацией -полюсной цепи.

Полюсное ребро может быть ориентированным как от положительного зажима к отрицательному, так и наоборот.

В соответствии с обозначениями полюсного напряжения и тока, из рис. 12.1 должно быть очевидным, что для представленного ранее выбора полюсной ориентации полюсное напряжение совпадает с напряжением, связанным с полюсным ребром, а полюсный ток

противоположен по направлению току, связанному с полюсным ребром. Соответствующие соотношения в последнем выборе ориентации полюса очевидны.

О -полюсной цепи с внешними устройствами, подключенными к полюсам, будем говорить как о нагруженной -полюсной цепи. Полагаем, что нагруженная -полюсная цепь является связной и в ней не существует внутренних вершин. Если нагруженная полюсная цепь не является связной, то каждую компоненту нагруженной сети можно рассматривать отдельно как многополюсную цепь. Если в данной цепи существуют некоторые внутренние вершины, их можно исключить преобразованием типа звезда — треугольник и получить цепь, эквивалентную исходной в смысле отношения между полюсными переменными. Таким образом, мы сделали два допущения, не нарушая общности рассмотрения. Будем предполагать также, что в цепи отсутствуют параллельные проводимости. Если такие проводимости имеются в цепи, их можно свести к единственной проводимости.

Свойства -пол юсных цепей можно описать любой системой независимых уравнений от полюсных переменных. Особый интерес представляют матрица проводимостей короткого замыкания и матрица полных сопротивлений холостого хода. В описании с помощью матрицы проводимостей короткого замыкания полюсные напряжения выбираются в качестве независимых переменных. Матрица проводимостей короткого замыкания является матрицей порядка которая преобразует вектор полюсных напряжений в вектор полюсных токов Таким образом, имеем

Если , где переменные напряжения и тока соответственно, связанные с полюсом, тогда очевидно, что

Физически это означает, что является током, текущим через полюс, когда полюс возбуждается источником единичного напряжения, причем все остальные полюса считаются короткозамкнутыми.

Необходимым условием существования матрицы проводимостей является отсутствие циклов в полюсной конфигурации. Иначе окажется невозможным выбор полюсных напряжений в качестве независимых переменных.

В описании с помощью матрицы полных сопротивлений холостого хода -полюсной цепи в качестве независимых переменных выбираются полюсные токи. Матрица полных сопротивлений холостого

того хода цепи есть -матрица, которая преобразует вектор полюсных токов в вектор полюсных напряжений Таким образом, имеем

В этом случае можно записать

Физически это означает, что — напряжение на полюсе, когда полюс возбуждается источником единичного тока, причем все остальные полюсы считаются разомкнутыми.

Чтобы существовало описание в виде матрицы полных сопротивлений, необходимо, чтобы в нагруженной -полюсной цепи (которая предполагается связной) не было сечения, состоящего только из полюсных ребер, нескольку в таком описании полюсные токи выбираются в качестве независимых переменных. Другими словами, для существования матрицы полных сопротивлений требуется, чтобы сеть была связной.

Теперь мы приступаем к выводу уравнений для -матриц -полюсной -цепи N. Соответствующую нагруженную цепь будем обозначать через

Рассмотрим сначала вывод К-матрицы цепи N. Пусть Т означает полюсную конфигурацию цепи N. Как и раньше, потребуем, чтобы Т была ациклической, так что на каждое полюсное ребро можно ссылаться как на независимый источник напряжения. Мы предполагаем, что каждое полюсное ребро направлено от положительного зажима соответствующего полюса к отрицательному.

Пусть — такой остов цепи N, что Т является подграфом Ребра подграфа Т назовем полюсными ветвями, а остальные ребра То — неполюсными ветвями. Базисную матрицу сечений нагруженной цепи N относительно можно записать в виде

соответствует цепи N, причем строки соответствуют полюсным ветвям, а строки Q — неполюсным ветвям.

Пусть вектор-столбцы определяются следующим образом: — вектор полюсных напряжений, — вектор напряжений на неполюсных ветвях, — вектор напряжений на ребрах в цепи N. Пусть векторы токов и определяются аналогично. Пусть обозначает такую диагональную матрицу проводимостей ребер в цепи N, что

Теперь можно записать максимальную систему уравнений ЗКТ для нагруженной цепи N в следующем виде:

Также получаем соотношение (преобразование сечения, теорема

Используя формулы (12.3) и (12.5) в выражении (12.4), получим

где

Матрица

называется матрицей проводимостей сечения -полюсной цепи N относительно Решая вторую часть системы уравнений (12.6), получим

Отметим, что является невырожденной, так как имеет максимальный ранг, является диагональной с ненулевыми элементами на диагонали. Используя формулу (12.7) в первой части системы уравнений (12.6), а именно получаем

Таким образом, матрица проводимостей короткого замыкания V цепи N задается выражением

    (12.9)

Заметим, что если полюсная конфигурация Т имеет компонент, то цепь N будет иметь полюсных входов. Если то Т будет остовом цепи N. В этом случае т. е. не будет существовать неполюсных ребер, и цепь N будет называться -полюсной цепью ранга n. Можно убедиться, что матрица проводимостей Y короткого замыкания -полюсной цепи ранга является такой же, как и матрица проводимостей сечения и поэтому для такой цепи

    (12.10)

Заметим, что в общем случае не является базисной матрицей сечения цепи N, хотя фактически она является подматрицей базисной

матрицы сечений цепи N по отношению к . Однако на будет весьма удобно ссылаться как на базисную матрицу сечении цепи N по отношению к Если допустить присутствие ребер с нулевыми проводимостями, то матрица фактически становится базисной матрицей сечений цепи

Далее рассмотрим вывод -матрицы -полюсной -цепи N. Как и ранее, потребуем, чтобы цепь N была связной, так что полюсные ребра могут стать частью ко-остова дерева некоторого остова цепи N. Полюсные ребра будем называть полюсными хордами, а оставшиеся ребра коостова — неполюсными хордами. В этом случае можно говорить о каждом полюсном ребре как о представляющем независимый источник тока и ориентировать его от отрицательного зажима полюса к положительному. Базисную цикломатическую матрицу цепи N по отношению к можно записать в виде

где подматрица соответствует -полюсной цепи N, причем строки соответствуют полюсным, а строки — неполюсным хордам.

Пусть определяются так, как и ранее. Кроме того, пусть — вектор токов в неполюсных хордах. Теперь можно записать максимальную систему независимых уравнений ЗКН в следующем виде:

Если — диагональная матрица полных реберных сопротивлений в цепи N, то

    (12.12)

Также существует соотношение (контурное преобразование, теорема 11.2)

Используя формулы (12.11) — (12.13), получим

где

Решая вторую часть системы уравнений (12.14), получим

    (12.15)

Можно заметить, что является невырожденной, поскольку В, имеет максимальный ранг, является диагональной матрицей с ненулевым элементом на диагонали.

(см. скан)

Рис. 12.2. а — резистивная -полюсная цепь (все проводимости даны в сименсах); б — полюсная конфигурация цепи; в — резистивная -полюсная цепь; г — полюсная конфигурация цепи.

Наконец, используя формулу (12.15) в первой части системы уравнений (12.14), получим

    (12.16)

Таким образом, матрица Z полных сопротивлений холостого хода цепи N задается выражением

    (12.17)

Если цепь N не имеет контуров, то она будет остовом цепи N и, следовательно, полюсные ребра будут образовывать соответствующий коостов. В этом случае неполюсные хорды будут отсутствовать и о цепи N можно говорить как о -полюсной цепи с цикломатическим числом . Таким образом, матрица Z полных сопротивлений холостого хода -полюсной цепи с цикломатическим числом задается выражением

    (12.18)

Как и в случае матрицы будем называть базисной цикломатической матрицей цепи N. Ниже на примерах показан вывод -матриц -полюсной цепи.

Сначала вычислим -матрицу сопротивлений -полюсной цепи, представленной на рис. 12.2, а. Полюсная конфигурация этой цепи показана на рис. 12.2, б. Выбирая ребра (3.4) и (5.6) в качестве неполюсных ветвей, получим матрицу

Для этой цепи

где — проводимость ребра связывающего вершины i и Теперь получим

Матрица проводимостей короткого замыкания -полюсной цепи, показанной на рис. 12.2, а, дается выражением

Теперь рассмотрим резистивную -полюсную цепь, показанную на рис. 12.2, в. Полюсная конфигурация этой цепи показана на рис. 12.2, г. Выбирая ребро (4.6) в качестве неполюсной хорды, получим матрицу в виде

Матрица для этой цепи имеет вид

Теперь получаем

Матрица полных сопротивлений холостого хода этой цепи

Как можно видеть из выражений (12.10) и (12.18), свойства -матрицы -полюсной цепи ранга и -матрицы той же цепи с цикломатическим числом тесно связаны со свойствами соответствующих базисной матрицы сечений и цикломатической матрицы.

В следующем разделе этой главы рассматриваются несколько свойств этих матриц и обсуждаются процедуры их реализации.