Главная > Графы, сети и алгоритмы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

5.5. Ориентированные остовы и ориентированные эйлеровы цепи

Пусть G — ориентированный эйлеров граф, не имеющий петель. В этом разделе мы свяжем число ориентированных эйлеровых цепей графа G с числом ориентированных остовов

Пусть — вершины графа, G. Рассмотрим ориентированную эйлерову цепь С графа G. Пусть дуга графа G, заходящая в вершину . Для любого будем считать, что обозначает первую дугу С, входящую в вершину после прохождения дуги Например, рассмотрим ориентированную эйлерову цепь графа, представленного на рис. 5.10. Если мы выберем , то . Пусть — подграф графа G на множестве дуг

Лемма 5.1. Пусть С — ориентированная эйлерова цепь ориентированного эйлерова графа G. Подграф Н, определяемый цепью С описанным способом, является ориентированным остовом с корнем

Доказательство. Очевидно, что в подграфе для всех . Допустим, что он содержит цикл С. Тогда вершина не входит в цикл С, иначе или для некоторой другой вершины цикла С. По этой же причине цикл С является контуром. Поскольку для всякой вершины v в цикле С, никакая из дуг, не принадлежащих С, не входит ни в какую вершину С. Это означает, что дуга , являющаяся первой после прохождения дугой цикла С, входящей в вершину цикла С, не принадлежит подграфу Н, что противоречит его определению. Следовательно, подграф Н на имеет циклов.

Теперь из п. 5 теоремы 5.4 следует, что подграф Н — ориентированный остов графа

Пусть — корень ориентированного остова ориентированного эйлерова графа G без петель на вершинах, — дуга, заходящая в вершину графа G. Пусть — дуга, входящая

в вершину подграфа Н. Опишем метод построения ориентированной эйлеровой цепи

1) Начать с вершины проходя назад по любой дуге, входящей в вершину отличной от (если такая дуга существует), или по , если нет альтернативы;

2) По достижении вершины оставить ее, проходя назад по дуге, которая еще не была пройдена и, если возможно, отличной от Остановиться, если не осталось непройденных дуг среди входящих в вершину

В этой процедуре каждый раз, когда достигается вершина будет существовать непройденная дуга, входящая в вершину поскольку полустепень захода всякой вершины графа G равна полустепени исхода. Следовательно, процедура закончится только в вершине после прохождения всех заходящих в нее дуг.

Предположим, что в графе G осталась непройденной дуга после того, как процедура закончилась в вершине . Поскольку полустепень захода в вершину и равна ее полустепени исхода, существует по крайней мере одна непройденная дуга, заходящая в вершину и. Если число таких непройденных дуг больше 1, то одна из них будет дугой у, входящей в вершину и подграфа Н. Это следует из шага 2 процедуры. Непройденная дуга у приведет к другой непройденной дуге, также принадлежащей подграфу Н. Наконец будет достигнута вершина и найдена непройденная дуга, заходящая в нее. Однако это невозможно, поскольку все дуги, заходящие в вершину были пройдены до того, как процедура завершилась в ней.

Таким образом, при выполнении описанной выше процедуры будут пройдены все дуги графа G и действительно построена ориентированная эйлерова цепь.

Поскольку в каждой вершине возможны различных вариантов последовательности выбора заходящих дуг — последняя), то число различных ориентированных эйлеровых цепей, которые можно построить по данным ориентированному остову подграфа Н и дуге , определяется выражением

Кроме того, различный выбор подграфа Н приведет для некоторых к различным что в свою очередь даст в результате другое вхождение в вершину после прохождения в получившейся ориентированной эйлеровой цепи.

Наконец, поскольку процедура построения ориентированной эйлеровой цепи является обращением процедуры построения ориентированного остова, то всякую ориентированную эйлерову цепь можно построить по нескольким ориентированным остовам.

Таким образом, мы доказали следующую теорему, принадлежащую де Брёйну и ван Аардену — Эренфесту [5.3].

Теорема 5.9. Число ориентированных эйлеровых цепей в ориентированном эйлеровом графе G без петель равно где — число ориентированных остовов графа G с корнем

Поскольку число ориентированных эйлеровых цепей не зависит от выбора корня, приходим к следующему выводу.

Следствие 5.9.1. Число ориентированных остовов ориентированного эйлерова графа имеет постоянное значение, не зависящее от выбора корня.

Формула для нахождения числа выводится в разд. 6.9.

1
Оглавление
email@scask.ru