Главная > Графы, сети и алгоритмы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

10.2. Фундаментальные свойства

В этом разделе мы установим несколько фундаментальных свойств матроидов. Все они известны в теории графов.

Сначала рассмотрим независимые множества и базы матроида М.

Теорема 10.2 (теорема добавления). Пусть X и Y — произвольные независимые подмножества в матроиде М. Если то существует такое независимо в М.

Доказательство. Пусть — такое множество, что независимо в М; 3) если для любого независимо в М, то Допустим, что Тогда существует множество Поскольку независимо в М, по аксиоме 1.3 найдется такой элемент что независимо в М. Множество противоречит выбору Следовательно, что доказывает теорему.

Следствие 10.2.1. Все базы матроида М на множестве 5 имеют одинаковую мощность, равную рангу М.

Доказательство. Допустим противное. Пусть базы и . Тогда по теореме добавления существует такое что — независимое множество. Однако это противоречит максимальности в

С помощью теоремы добавления можно доказать также обобщение этого результата.

Следствие 10.2.2. Пусть М — матроид на множестве S, Тогда все максимальные независимые подмножества А имеют одинаковую мощность. Другое следствие из теоремы 10.2 сформулируем без доказательства. Следствие 10.2.3. Если и — базы магроида М и то существует такое что является базой матроида М.

Теперь изучим свойства функции ранга матроида.

Теорема 10.3. Функция ранга магроида М на множестве обладает следующими свойствами:

4. Подмодульное неравенство .

Доказательство. Первые три свойства следуют непосредственно из определения функции ранга.

Докажем свойство 4. Пусть X — максимальное независимое подмножество По теореме добавления существует максимальное независимое подмножество содержащее. Пусть где Так как — независимое подмножество — независимое подмножество В, то получим Следовательно,

Свойство 5 является следствием свойства 4.

Перейдем к рассмотрению циклов матроида. Сформулируемые ниже свойства непосредственно следуют из определения цикла.

1. Любое собственное подмножество цикла — независимо. Поэтому если различные циклы, то

2. Если С — цикл, то

3. Матроид М на множестве S не содержит циклов тогда и только тогда, когда все подмножества S — независимы. Таким образом, множество S является единственной базой такого матроида М.

Теорема 10.4. Если различные циклы матроида М и то существует такой цикл что

Доказательство. Пусть . Покажем, что С — зависимо, т. е. , доказывая тем самым теорему.

Поскольку и — различные циклы, является собственным подмножеством как так Поэтому независимо. Таким образом, Кроме того, Теперь, используя этот результат и подмодульность функции ранга (теорема 10.3), получим

Поскольку имеем также

Объединив выражения (10.1) и (10.2), получим

Следствие 10.4.1. Если А — независимое множество матроида М на множестве S, то для любого содержит не более одного цикла.

Доказательство. Допустим, что для некоторого существуют два таких различных цикла что Тогда по предыдущей теореме существует цикл Следовательно, — зависимое множество. Но что противоречит независимости множества А.

Следствие 10.4.2. Если В — база матроида М на множестве 5 и то существует такой единственный цикл , что

Доказательство. Поскольку В — максимальное независимое множество, в содержится цикл. По предыдущему следствию этот цикл единственный.

Определенный в этом следствии цикл называется базисным циклом элемента по отношению к базе В.

Докажем теперь более сильный результат, чем теорема 10.4.

Теорема 10.5. Если — различные циклы матроида и то для любого существует такой цикл С, что

Доказательство. Допустим, что у таковы, что теорема неверна и что минимально среди всех пар различных циклов, не удовлетворяющих теореме.

По теореме 10.4 существует цикл Из выбора х и у очевидно, что Кроме того, в противном случае что противоречит тому факту, что — минимальное зависимое множество. Пусть тогда

Теперь для циклов справедливы следующие утверждения:

— собственное подмножество поскольку Из выбора следует, что существует такой цикл что

Для циклов С, и имеем так как

— собственное подмножество поскольку

Из выбора также следует, что существует такой цикл что

Поскольку — собственное подмножество цикл таков, что а это противоречит выбору

1
Оглавление
email@scask.ru