13.3. Сопряженная цепь и вычисление чувствительности цепи

В этом разделе развивается метод вычисления чувствительности цепей. Этот метод основан на теореме Теллежена и понятии «сопряжение цепи» [13.5, 13.6]. Приведенные здесь рассуждения основаны на данных работы [13.6].

Пусть N — линейная неизменная во времени цепь с сосредоточенными параметрами, состоящая из сопротивлений, емкостей, индуктивностей, трансформаторов, гираторов, управляемых по напряжению источников тока и напряжений и управляемых по току источников тока и напряжения. Допустим, что N является 2-полюсной цепью, хотя последующие рассуждения справедливы даже тогда, когда цепь N имеет более двух полюсов.

Пусть N является 2-полюсной цепью, которая топологически эквивалентна цепи N. Другими словами, граф цепи N идентичен графу цепи N. Соответствующие элементы цепей N и N будут обозначаться одинаковыми символами. Заметим, что элементы цепи N и их значения пока не определены.

Пусть — напряжение и ток соответственно, связанные с элементом в цепи N, а и — напряжение и ток соответственно, связанные с соответствующим элементом в цепи N. Тогда равно 1, 2) будут обозначать переменные напряжения и тока, связанные для полюсов цепи N, а равно 1, 2) будут обозначать соответствующие переменные для полюсов цепи

Применяя теорему Теллежена к цепям N и N, получим

    (13.41а)

где суммирование проводится по всем элементам цепей N

Предположим, что значения элементов цепи N изменились. Тогда теорема Теллежена, примененная к возмущенной цепи N и цепи N, дает следующий результат:

    (13.426)

где представляют собой изменения напряжения и тока, которые произошли в результате изменения величин элементов в цепи

Вычитая выражение (13.41) из выражения (13.42), получим

    (13-43)

Вычитая выражение (13.43) из выражения (13.44), имеем

Теперь желательно определить элементы в цепи N таким образом, чтобы выражение (13.45) не зависело от всех и -членов.

Сначала рассмотрим резисторы. Имеем

    (13.46)

где — напряжение и ток, связанные с резистором. Пусть R изменяется до Тогда выражение можно упростить, пренебрегая членами второго порядка малости:

    (13.47)

Вычитая выражение (13.46) из выражения (13.47), получим

Следовательно, члены в выражении (13.45), связанные с резисторами цепи N, можно записать в виде

    (13.49)

где суммирование проводится по всем резисторам цепи

Заметим, что индексы у величин X и не обязательно говорят об отношении к резисторам цепи N, но явно указывают на соответствие между элементами цепей N и

Если теперь выбрать

    (13.50)

то выражение (13.49) упрощается до выражения

    (13.51)

которое не зависит от и

Уравнение (13.50) является соотношением для сопротивления величины R. Поэтому элемент в цепи N, который соответствует резистору величины R в цепи N, является также резистором величины

Таблица 13.1 (см. скан)

Рассмотрим далее управляемый по напряжению источник напряжения, определязмый соотношениями Затем, пренебрегая членами второго порядка малости, имеем

Члены выражения (13.45), соответствующие источнику, управляемому по напряжению, можно теперь переписать в виде

    (13.52)

Если теперь выбрать

    (13.53)

то выражение (13.52) упрощается до

Заметим, что выражение (13.53) описывает источник, управляемый по току с коэффициентом усиления Отметим также разницу между управляющими и зависимыми элементами в сопряженной цепи.

Члены выражения (13.45) для остальных типов элементов цепи N можно получить аналогичным способом.

Результаты сведены в табл. 13.1, причем соответствующие соотношения на ветвях должны быть выбраны для сопряженной цепи

Если элементы N выбираются, как приведено в табл. 13.1, то выражение (13.45) можно упростить: где b и — векторы, компоненты которых приведены в табл.

Цепь N, элементы которой определены в соответствии с табл.

13.1, называется сопряженной цепью N. Представления различных элементов цепи N и их соответствующих элементов в сопряженной цепи N приведены на рис. 13.8.

Заметим, что сопряженная цепь N находится в следующем отношении к исходной цепи:

1) Граф N тождествен графу

2) Все резистивные, емкостные и индуктивные элементы цепи N соответствуют резистивным, емкостным и индуктивным элементам таких же величин цепи

3. Все трансформаторы с отношением витков цепи N соответствуют трансформаторам с отношением витков цепи

4. Все гираторы с гирационным отношением а в цепи N соответствуют гираторам с гирационным отношением — а цепи N (или два полюса гиратора меняются местами).

5. Источники напряжения, управляемые по напряжению, с коэффициентом усиления по напряжению цепи N соответствуют источникам тока, управляемым по току, с коэффициентом усиления по току цепи N, и роли управляющих и зависимых элементов цепи N меняются на обратные в цепи

6. Источники тока, управляемые по току, с коэффициентом усиления по току в цепи N соответствуют источникам напряжения, управляемым по напряжению, с коэффициентом усиления по напряжению —13 в цепи N, и роли управляющих и зависимых элементов в цепи N меняются на обратные в цепи

(см. скан)

Рис. 13.8. Элементы цепи и их сопряжения.

7, Источники тока, управляемые по напряжению, и источники напряжения, управляемые по току, в цепи N соответствуют источникам тока, управляемым по напряжению, и источникам напряжения, управляемым по току соответственно в цепи N, и роли управляющих и зависимых элементов цепи N меняются на обратные в цепи

Проиллюстрируем применение сопряженной цепи в вычислении чувствительностей функции цепи. Чувствительность функции цепи по отношению к параметру цепи определяется в виде . Очевидно, что чувствительность является мерой воздействия на приращения параметра Вычисление S? существенно использует определение Это можно сделать следующим образом:

1. Выбираем полюсные переменные таким образом, чтобы левую часть выражения (13.54) упростить до . (Другими словами, возбудить цепь N и сопряженную цепь N в их соответствующих полюсах.) Например, предположим, что является отношением напряжений холостого хода, т. е. . Тогда возбуждаем цепи N и N следующим образом:

а) подключаем к полюсу 1 цепи N независимый источник напряжения постоянной величины 1. Тогда

б) разрываем полюс 2 в цепи N. Таким образом,

в) замыкаем накоротко полюс 1 цепи N, так что

г) подключаем к полюсу 2 цепи N независимый источник тока величины 1. Тогда

Легко проверить, что приведенный выше выбор возбуждений полюсов упрощает левую часть выражения (13.54) до

2. Анализируем цепи после возбуждений, описанных выше и определяем все токи и напряжения на элементах.

3. Выражение в правой части (13.54), соответствующее параметру является произведением и напряжений токов, соответствующих этому параметру (табл. 13.1). Поэтому для каждого параметра можно определить после того, как напряжения и токи в цепях определены, как описано в п. 2.

Рис. 13.9. Цепь и ее сопряжения.

Подобное вычисление чувствительности, использующее понятие «сопряженная цепь», требует анализа данной цепи N и ее сопряженной цепи

Проиллюстрируем на примере описанный выше метод вычисления чувствительности. Пример заимствован из работы [13.3].

рассмотрим цепь N, представленную на рис. 13.9, а. Сопряженная цепь N показана на рис. 13.9, б. Отношение напряжений холостого хода цепи N задается функцией

Рис. 13.10. Возбуждение полюсов цепи на рис. 13.9.

Как описано ранее, возбуждаем цепи N и N, как показано на рис. 13.10. Из табл. 13.1 имеем

Легко проверить, что

В результате получаем

В гл. 11 (упражнение 11.3) было показано, что матрица полных сопротивлений контура планарной цепи равна матрице проводимостей сечений ее двойственной цепи. Можно задаться вопросом, существует ли для данной цепи N другая такая цепь , что матрица неопределенных проводимостей цепи была бы равна

транспозиции матрицы неопределенных проводимостей N. Ответ будет утвердительным: существует. В работе [13.7] показано, как построить такую цепь NT, названную транспозицией цепи N. Оказалось, что NT является той же самой цепью, что и сопряженная к цепи N [13.8]. Авторы этой работы получили теорему, аналогичную теореме Теллежена, но применимую к любым двум планарным цепям, имеющим двойственную топологию. Используя эту теорему, они построили из данной планарной цепи новую цепь, названную обобщенной двойственной транспозицией. Если ND является двойственной к цепи N, а NDT является транспозицией цепи , то можно показать, что NDT является специальным случаем обобщенной двойственной транспозиции цепи N.

Понятия «транспозиция» и «обобщенная двойственная транспозиция помогли увидеть единство между различными реализациями цепей (опубликованными в литературе), которые кажутся различными, но фактически являются взаимосвязанными через операции транспозиции и обобщенной двойственной транспозиции.

Например, в работе [13.3] предлагаются две структуры цепи, чтобы реализовать функцию преобразования напряжения. Можно показать, что первая из них является обобщенной двойственной транспозицией второй. Еще пример: авторы работы [13.10] предложили две структуры; одну для того, чтобы реализовать функцию преобразования напряжения, а другую, чтобы реализовать функцию преобразования тока. И снова первая из них является транспозицией второй. Примеры, которые показывают, как получить, используя понятия «транспозиция» и «обобщенная двойственная транспозиция», различные эквивалентные структуры, реализующие данную функцию цепи, можно найти в работе [13.9].