Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
15.7. Потоки в транспортной сетиТранспортная сеть N есть связный ориентированный граф, который не имеет петель и удовлетворяет следующим условиям: 1. Существует только одна вершина с нулевой полустепенью захода; эта вершина называется источником и обозначается через 2. Существует только одна вершина с нулевой полустепенью исхода; эта вершина называется стоком и обозначается через 3. Каждому ориентированному ребру Транспортная сеть представляет собой модель сети перевозки продукции из центра производства к потребителю через связывающие их пути. Пропускная способность ребра может рассматриваться как максимальная скорость, с которой продукция транспортируется вдоль этого ребра. Потоком
Значение потока
Рис. 15.17. Транспортная сеть. Условие (15.32), называемое ограничением по пропускной способности, требует, чтобы скорость потока вдоль ребра не превосходила пропускной способности ребра. Условие (15.33), называемое условием сохранения, требует, чтобы для каждой вершины Пример транспортной сети N с потоком f представлен на рис. 15.17. На нем рядом с каждым ребром Величина потока f, обозначаемая через
Далее мы покажем, используя условие сохранения, что
Это будет только подтверждением интуитивно очевидного факта, что ввиду условия сохранения общее количество материала, выходящего из источника, равно общему количеству материала, входящего в сток. Говорят, что поток В следующем подразделе мы докажем теорему Форда и Фалкерсона о максимальном потоке и минимальном разрезе, после чего рассмотрим помечивающий алгоритм Форда и Фалкерсона определения максимального потока в транспортной сети. В заключение мы докажем теоремы Менгера, используя теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе. 15.7.1. Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезеБудем говорить, что разрез
Отметим, что пропускная способность ребер, которые ориентированы из S в S, не увеличивает пропускную способность разреза Например, рассмотрим разрез Ребрами, ориентированными из S в S, являются ребра Теорема 15.7. Для любого потока
Доказательство. Из определений потока и величины потока имеем
Суммируя эти равенства по всем вершинам в S, получим
В левой части этого равенства Таким образом, Отметим, что выражение (15.34) является частным случаем выражения (15.37). Следствие 15.7.1. Для любого потока
Доказательство. Так как любая величина Ребро Отметим, что знак равенства в выражении (15.39) достигается тогда и только тогда, когда Следствие 15.7.2. Пусть Доказательство. Пусть Перейдем к доказательству того, что величина максимального потока фактически равна пропускной способности минимального разреза. Рассмотрим транспортную сеть
является путем в N из источника в какую-либо вершину V. Отметим, что Р — необязательно ориентированный путь. Ребро
Сопоставим пути Р неотрицательное число
Мы назовем путь
Очевидно, что Таким образом, В качестве примера рассмотрим сеть N, изображенную на рис. 15.17. Пусть поток
Рис. 15.18. Так как Теорема 15.8. Поток Доказательство. Необходимость. Если в N существует Достаточность. Предположим, что N не содержит Покажем, что Рассмотрим ориентированное ребро Таким образом, В ходе доказательства приведенной выше теоремы мы установили следующий хорошо известный результат Форда и Фалкерсона [15.44], а также Элиаса, Файнштайна и Шеннона [15.45]. Теорема 15.9. (Теорема о максимальном потоке и минимальном разрезе.) В транспортной сети величина максимального потока равна пропускной способности минимального разреза. Теорему о максимальном потоке и минимальном разрезе можно использовать для доказательства нескольких комбинаторных результатов. Мы рассмотрим один из этих результатов в подразделе 15.7.4. Другие приведены в работах [15.1, 15.46]. 15.7.2. Помечивающий алгоритм Форда и ФалкерсонаРассмотрим теперь алгоритм Форда и Фалкерсона [15.44] для определения максимального потока в транспортной сети. Этот алгоритм, основанный на теореме 15.8, состоит из двух фаз. На первой фазе по заданному потоку мы, используя помечивающую процедуру, проверяем, существует ли В первой фазе метка вида Первая фаза начинается с пометки источника парой Предположим, что вершина и помечена, а вершина v нет. Пусть е — ребро, связывающее и и Прямое помечивание. Если Обратное помечивание. Если На первой фазе вершины помечаются только однажды. Эта фаза завершается, когда 1) вершина t получает метку либо 2) вершина t не помечена и ни одну из вершин больше нельзя пометить. Если t получает метку в первой фазе, то из правил помечивания следует, что существует Алгоритм 15.9. Максимальный поток в транспортной сети (Форд и Фалкерсон). S1. Выбрать какой-либо поток S2. (Начинается фаза 1.) Пометить s парой S3. Если существует непомеченная вершина, которую можно пометить с помощью прямого или обратного помечивания, то выбрать одну такую вершину и, пометить ее и перейти к шагу S4. Если S5. (Начинается фаза 2.) Пусть метка вершины v есть 1) если 2) если S6. Если S7. (Полученный Проиллюстрируем работу вышеприведенного алгоритма. Рассмотрим транспортную сеть N, представленную на рис. 15.19. На нем рядом с каждым ребром
Рис. 15.19. Сеть для иллюстрации помечивающего алгоритма Форда — Фалкерсона. Первый символ в метке t есть
Все ребра в Р являются прямыми. Поэтому для получения измененного потока Мы стираем метки всех вершин. Имея поток Новое множество меток, основанное на Имея
Рис. 15.20. Иллюстрация полечивающего алгоритма Форда — Фалкерсона. Пусть S — множество вершин, помеченных на рис. 15.20, в. Тогда 15.7.3. Модификация Эдмондса и Карпа алгоритма помечиванияВ алгоритме Форда — Фалкерсона, который мы описали в предыдущем подразделе, вершины можно помечать в произвольном порядке. Другими словами, выбор дополняющего пути (когда он существует) делается произвольным образом. Проиллюстрируем на примере проблему, к которой может привести произвольность выбора.
Рис. 15.21. Рассмотрим транспортную сеть N, изображенную на рис. 15.21. Предположим, что мы начинаем выполнять помечивающий алгоритм с нулевого потока и поочередно используем пути Более того, Форд и Фалкерсон [15.1] показали, что их алгоритм может не найти решения, если пропускные способности ребер являются иррациональными числами. Они привели пример, в котором величина потока стремится к Для устранения этого недостатка Эдмондс и Карп [15.4] предложили усовершенствование помечивающего алгоритма: на каждом шаге поток увеличивается вдоль кратчайшего пути. Под кратчайшим путем здесь понимается путь, имеющий наименьшее число ребер. Очевидно, что кратчайший дополняющий путь будет выбран, если в процедуре помечивания мы рассматриваем вершины по правилу «первым помечен — первым рассмотрен», т. е. если вершина v помечена до вершины Эдмондс и Карп показали, что эта модификация гарантирует независимость числа вычислительных шагов, требуемых для реализации помечивающего алгоритма, от пропускных способностей ребер. Перейдем к доказательству этого результата. Рассмотрим поток
дополняющий путь. Напомним, что
Таким образом, Предположим, что помечивающий алгоритм начинает с начального потока Отметим, что, когда ребро Лемма 15.7. Если Путь Лемма 15.8. Для каждой вершины v и каждого
Доказательство. Мы докажем соотношение (15.42). Соотношение (15.43) доказывается аналогично. Предположим, что не существует
кратчайший
так как кратчайший
В любом случае соотношение (15.44) выполняется. Аналогично мы можем показать, что (15.44) верно, когда Суммируя (15.44) для Лемма 15.9. Если используется принцип «первый помечен — первый рассмотрен», Доказательство. Предположим, что
так как
так как
Тогда из выражений Теорема 15.10. (Эдмондс и Карп.) Если в помечивающем алгоритме Форда — Фалкерсона каждое увеличение потока выполняется вдоль кратчайшего дополняющего путн, то максимальный поток можно получить не более чем после Доказательство. Рассмотрим какое-либо ребро
По лемме Таким образом, В доказательстве приведенной выше теоремы не делается никаких предположений о природе пропускных способностей ребер, кроме их неотрицательности. Таким образом, из теоремы ясно, что если используется принцип «первый помечен — первый рассмотрен», то алгоритм 15.9 заканчивается для любых вещественных неотрицательных пропускных способностей за конечное число увеличений потока. Так как дополняющий путь можно найти за В работе [15.47] описывается класс сетей, для которых необходимо В работе [15.48] показано, как улучшить эффективность алгоритма 15.9, выделяя в одном из применений помечивающей процедуры все кратчайшие пути для увеличения потока. Эта идея подобна идее, использованной Хопкрофтом и Карпом [15.36] при построении максимального паросочетания в двудольном графе. В данном случае алгоритм имеет сложность Недавно был представлен [15.49] алгоритм сложности Была изучена [15.37] сложность алгоритма Диница для особого класса транспортных сетей. Как мы упоминали ранее в разд. 15.5, этот результат был использован, чтобы показать, что максимальное паросочетание в двудольном графе можно построить за время, пропорциональное 15.7.4. Теоремы МенгераВ этом разделе мы докажем теоремы Менгера мы для целей общности будем допускать возможность того, что источник имеет ненулевую полустепень захода, а сток — ненулевую полустепень исхода. Наше доказательство теорем Менгера основано на следующем результате: Теорема 15.11. Пусть N — транспортная сеть с источником s и стоком Доказательство. 1. Пусть
Пусть
Ясно, что
Объединяя выражения (15.49) и (15.50), получим 2. Пусть
Пусть Z — множество из q ребер, удаление которых разрушает все ориентированные Поэтому
Объединяя выражения (15.51) и (15.52), получим Теорема 15.12. Пусть s и Доказательство. Построим из графа G транспортную сеть N с источником s и стоком Для неориентированного графа G пусть Теорема 15.13. Пусть s и 1. Расщепим вершину 2. Заменим каждое ребро графа G с конечной вершиной 3. Заменим каждое ребро графа G с начальной вершиной
Рис. 15.22. а — граф С; б — граф С. Граф G и соответствующий ему граф 1. Каждый ориентированный 2. Два ориентированных 3. Максимальное число не пересекающихся по ребрам ориентированных 4. Минимальное число ребер, удаление которых разрушает все ориентированные Из этих замечаний следует справедливость вершинного аналога теоремы 15.12. Теорема 15.14. Пусть s и t — две несмежные вершины в ориентированном графе G. Тегда максимальное число не пересекающихся по вершинам ориентированных Теореме 15.13 соответствует следующая теорема: Теорема 15.15. Пусть s и Доказательство. Достаточно применить теорему 15.14 к графу Стандартной ссылкой на теорию потоков в сетях является ссылка на работу [15.1], в которой рассматривается также задача поиска потока минимальной стоимости. Эти вопросы излагаются также в работах [15.7-15.9, 15.46, 15.52, 15.53].
|
1 |
Оглавление
|