13. Функции цепи и чувствительность цепи

В этой главе сначала выведем формулы для функций цепей в терминах проводимостей, связанных с некоторыми подграфами данной цепи. Такие формулы, называемые топологическими формулами, впервые были выведены Кирхгофом с использованием сопротивлений и позднее, в 1892 г., Максвеллом с использованием проводимостей. Исследование в этой главе основывается на матрице неопределенных проводимостей. Многие результаты, которые будут здесь представлены, просто следуют из результатов гл. 6.

В заключительной части главы описывается метод вычисления чувствительности функций цепи. Этот метод основывается на понятии «сопряженная цепь» и теореме Теллежена 11.3.

13.1. Топологические формулы для RLC-цепей без взаимных индуктивностей

В этом разделе выводятся топологические формулы для -цепей без взаимных индуктивностей. Матрица узловых проводимостей является отправной точкой для вывода этих формул.

Рис. 13.1. 1-полюсная цепь.

Сначала рассмотрим -полюсную -цепъ N без взаимных индуктивностей. Пусть цепь N имеет узлов, обозначаемых , и пусть узлы 1 и 0 являются соответственно положительно и отрицательно обозначенными зажимами полюса (рис. 13.1). Допустим наличие нулевых начальных условий (емкостных напряжений и индуктивных токов) в цепи N. Далее, все переменные токов и напряжежений являются преобразованиями Лапласа от комплексной частотной переменной. Возбудим цепь, подсоединяя к полюсу источник тока величиной Если -напряжения в узлах относительно узла матрица узловых проводимостей цепи N с отмеченным нулевым

узлом, то узловыми уравнениями для N будут

Решая уравнение (13.1) относительно получим где — алгебраическое дополнение Y. Поэтому полное сопротивление цепи N в точке возбуждения задается в виде

а проводимость в точке возбуждения — в виде

Чтобы вывести топологические формулы для гну, необходимо выразить и А через соответствующие величины, связанные с некоторыми подграфами цепи N. Как показано ниже, это нетрудно сделать. В дальнейшем произведением проводимостей подграфа цепи N будем называть произведение проводимостей, связанных с ребрами подграфа. Если подграф не имеет ребер, то произведение его проводимостей принимается равным 1. Аналогично определяется произведение полных сопротивлений подграфа цепи

В соответствии с этими определениями примем следующие обозначения:

- сумма произведений проводимостей остовов цепи

— сумма произведений проводимостей всех остовных -деревьев цепи

- сумма произведений полных сопротивлений всех коостовов цепи

- сумма произведений полных сопротивлений дополнений всех остовных -деревьев Тцепи N. (13.4)

Если — полные сопротивления ребер цепи N, то, очевидно,

Рассмотрим теперь матрицу проводимостей узлов цепи N. Если обозначить символом N взвешенный граф, причем веса представляют проводимости соответствующих ребер, то можно видеть (упражнение 6.16), что

Используя выражения (13.5) — (13.8) в формулах (13.2) и (13.3), получим следующую теорему

Теорема 13.1. Пусть z и у — полное сопротивление и проводимость соответственно в точке возбуждения однополюсной -цепи без взаимных индуктивностей. Если 1 и 0 являются зажимами полюса цепи, то

Выведем топологические формулы для функций полного сопротивления холостого хода и проводимости короткого замыкания 2-полюсной (рис. 13.2) без взаимных индуктивностей. Снова предполагаем в цепи N наличие нулевых начальных условий. Если полюса цепи N возбуждаются источниками тока величиной то узловые уравнения цепи N можно записать в виде , где

Рис. 13.2. Простая 2-полюсная RLC-цепь.

Решая их относительно узловых напряжений , получим

Из приведенных выше соотношений получаем

Отметим, что, поскольку матрица Y — симметричная, имеем Так как — напряжение на полюсе — напряжение на полюсе 2, матрица коэффициентов в выражении (13.9) равна матрице полных сопротивлений холостого хода цепи N. Таким образом,

Чтобы выразить элементы через соответствующие произведения проводимостей цепи N, сначала заметим, что

    (13.11)

Из формулы (13.8) также имеем

    (13.12)

Поскольку каждое остовное -дерево является или остовным -деревом или остовным -деревом , получаем

    (13.13)

Аналогично

Используя выражения (13.13) и (13.14) в формуле (13.12), получим

    (13.15)

Рассуждая аналогично, получаем

    (13.16)

Используя выражения (13.15) и (13.16) в формуле (13.10), получим следующую теорему:

Теорема 13.2. Пусть N — -полюсная -цепь без взаимных индуктивностей. Пусть положительные и отрицательные зажимы полюсов цепи N будут такими, как показано на рис. 13.2. Тогда матрица полных сопротивлений холостого хода цепи N определяется выражением

Из выражений (13.5) и (13.6) ясно, что элементы можно также выразить с использованием произведений полных сопротивлений соответствующих коостовов и дополнений остовных -деревьев.

Матрицу проводимостей короткого замыкания можно получить, инвертируя матрицу холостого хода Таким образом,

Здесь мы использовали тождество

    (13.18)

Заметим, что алгебраическое дополнение порядка Y по отношению к его -элементам и задается выражением

Фактически алгебраическое дополнение матрицы относительно -элемента матрицы Y, а выражение (13.18) — тождество Якоби [13.1]. Выразим через соответствующие произведения проводимостей.

Рассмотрим цепь N, которая получается из цепи N замыканием узлов i и 0. Тогда матрица проводимостей узлов Y цепи N с отмеченным узлом 0 равна Если алгебраическое дополнение Y относительно -элемента из матрицы Y, то, как уже отмечалось,

Если — остовное -дерево цепи N с узлами и k в одной компоненте и узлом 0 в другой компоненте, — сумма произведений проводимостей всех остовных -деревьев цепи N, то из выражения (13.8) получим Но остовное -дерево цепи N является остовным -деревом цепи N типа о, потому что в цепи N узлы 0 и i представлены единственным узлом. Таким образом,

    (13.20)

где — сумма произведений проводимостей всех остовных

3-деревьев типа

Рассмотрим член в выражении (13.7). Из выражения (13.20) ясно, что Поскольку

    (13.21)

Используя выражения (13.8), (13.15), (13.16) и (13.21), получим топологические формулы для всех элементов

Теорема 13.3. Пусть N — -полюсная -цепъ без взаимных индуктивностей. Пусть положительные и отрицательные зажимы полюсов цепи N будут такими, как показано на рис. 13.2. Тогда матрица проводимостей короткого замыкания цепи N задается выражением

Проиллюстрируем топологические оценки матриц полных сопротивлений холостого хода и матриц проводимостей короткого замыкания -полюсной -цепи. Следующий пример взят из работы [13.2].

Рис. 13.3.

Рассмотрим цепь, представленную на рис. 13.3. Элементы этой цепи обозначены символами а, b, с, d и е. Номиналы ее элементов показаны на рисунке. Отметим, что 3 и 0 обозначают одну и ту же вершину. Поэтому цепь N не содержит остовных -деревьев типа По этой же причине она не содержит остовных -деревьев типа

Остовы, остовные -деревья и -деревья, необходимые для определения получаются следующим образом:

Остовы:

Из приведенных выше деревьев можно получить

Используя эти выражения и теоремы 13.2 и 13.3, можно получить