Главная > Графы, сети и алгоритмы
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

13. Функции цепи и чувствительность цепи

В этой главе сначала выведем формулы для функций цепей в терминах проводимостей, связанных с некоторыми подграфами данной цепи. Такие формулы, называемые топологическими формулами, впервые были выведены Кирхгофом с использованием сопротивлений и позднее, в 1892 г., Максвеллом с использованием проводимостей. Исследование в этой главе основывается на матрице неопределенных проводимостей. Многие результаты, которые будут здесь представлены, просто следуют из результатов гл. 6.

В заключительной части главы описывается метод вычисления чувствительности функций цепи. Этот метод основывается на понятии «сопряженная цепь» и теореме Теллежена 11.3.

13.1. Топологические формулы для RLC-цепей без взаимных индуктивностей

В этом разделе выводятся топологические формулы для -цепей без взаимных индуктивностей. Матрица узловых проводимостей является отправной точкой для вывода этих формул.

Рис. 13.1. 1-полюсная цепь.

Сначала рассмотрим -полюсную -цепъ N без взаимных индуктивностей. Пусть цепь N имеет узлов, обозначаемых , и пусть узлы 1 и 0 являются соответственно положительно и отрицательно обозначенными зажимами полюса (рис. 13.1). Допустим наличие нулевых начальных условий (емкостных напряжений и индуктивных токов) в цепи N. Далее, все переменные токов и напряжежений являются преобразованиями Лапласа от комплексной частотной переменной. Возбудим цепь, подсоединяя к полюсу источник тока величиной Если -напряжения в узлах относительно узла матрица узловых проводимостей цепи N с отмеченным нулевым

узлом, то узловыми уравнениями для N будут

Решая уравнение (13.1) относительно получим где алгебраическое дополнение Y. Поэтому полное сопротивление цепи N в точке возбуждения задается в виде

а проводимость в точке возбуждения — в виде

Чтобы вывести топологические формулы для гну, необходимо выразить и А через соответствующие величины, связанные с некоторыми подграфами цепи N. Как показано ниже, это нетрудно сделать. В дальнейшем произведением проводимостей подграфа цепи N будем называть произведение проводимостей, связанных с ребрами подграфа. Если подграф не имеет ребер, то произведение его проводимостей принимается равным 1. Аналогично определяется произведение полных сопротивлений подграфа цепи

В соответствии с этими определениями примем следующие обозначения:

- сумма произведений проводимостей остовов цепи

— сумма произведений проводимостей всех остовных -деревьев цепи

- сумма произведений полных сопротивлений всех коостовов цепи

- сумма произведений полных сопротивлений дополнений всех остовных -деревьев Тцепи N. (13.4)

Если — полные сопротивления ребер цепи N, то, очевидно,

Рассмотрим теперь матрицу проводимостей узлов цепи N. Если обозначить символом N взвешенный граф, причем веса представляют проводимости соответствующих ребер, то можно видеть (упражнение 6.16), что

Используя выражения (13.5) — (13.8) в формулах (13.2) и (13.3), получим следующую теорему

Теорема 13.1. Пусть z и у — полное сопротивление и проводимость соответственно в точке возбуждения однополюсной -цепи без взаимных индуктивностей. Если 1 и 0 являются зажимами полюса цепи, то

Выведем топологические формулы для функций полного сопротивления холостого хода и проводимости короткого замыкания 2-полюсной (рис. 13.2) без взаимных индуктивностей. Снова предполагаем в цепи N наличие нулевых начальных условий. Если полюса цепи N возбуждаются источниками тока величиной то узловые уравнения цепи N можно записать в виде , где

Рис. 13.2. Простая 2-полюсная RLC-цепь.

Решая их относительно узловых напряжений , получим

Из приведенных выше соотношений получаем

Отметим, что, поскольку матрица Y — симметричная, имеем Так как — напряжение на полюсе — напряжение на полюсе 2, матрица коэффициентов в выражении (13.9) равна матрице полных сопротивлений холостого хода цепи N. Таким образом,

Чтобы выразить элементы через соответствующие произведения проводимостей цепи N, сначала заметим, что

    (13.11)

Из формулы (13.8) также имеем

    (13.12)

Поскольку каждое остовное -дерево является или остовным -деревом или остовным -деревом , получаем

    (13.13)

Аналогично

Используя выражения (13.13) и (13.14) в формуле (13.12), получим

    (13.15)

Рассуждая аналогично, получаем

    (13.16)

Используя выражения (13.15) и (13.16) в формуле (13.10), получим следующую теорему:

Теорема 13.2. Пусть N — -полюсная -цепь без взаимных индуктивностей. Пусть положительные и отрицательные зажимы полюсов цепи N будут такими, как показано на рис. 13.2. Тогда матрица полных сопротивлений холостого хода цепи N определяется выражением

Из выражений (13.5) и (13.6) ясно, что элементы можно также выразить с использованием произведений полных сопротивлений соответствующих коостовов и дополнений остовных -деревьев.

Матрицу проводимостей короткого замыкания можно получить, инвертируя матрицу холостого хода Таким образом,

Здесь мы использовали тождество

    (13.18)

Заметим, что алгебраическое дополнение порядка Y по отношению к его -элементам и задается выражением

Фактически алгебраическое дополнение матрицы относительно -элемента матрицы Y, а выражение (13.18) — тождество Якоби [13.1]. Выразим через соответствующие произведения проводимостей.

Рассмотрим цепь N, которая получается из цепи N замыканием узлов i и 0. Тогда матрица проводимостей узлов Y цепи N с отмеченным узлом 0 равна Если алгебраическое дополнение Y относительно -элемента из матрицы Y, то, как уже отмечалось,

Если — остовное -дерево цепи N с узлами и k в одной компоненте и узлом 0 в другой компоненте, — сумма произведений проводимостей всех остовных -деревьев цепи N, то из выражения (13.8) получим Но остовное -дерево цепи N является остовным -деревом цепи N типа о, потому что в цепи N узлы 0 и i представлены единственным узлом. Таким образом,

    (13.20)

где — сумма произведений проводимостей всех остовных

3-деревьев типа

Рассмотрим член в выражении (13.7). Из выражения (13.20) ясно, что Поскольку

    (13.21)

Используя выражения (13.8), (13.15), (13.16) и (13.21), получим топологические формулы для всех элементов

Теорема 13.3. Пусть N — -полюсная -цепъ без взаимных индуктивностей. Пусть положительные и отрицательные зажимы полюсов цепи N будут такими, как показано на рис. 13.2. Тогда матрица проводимостей короткого замыкания цепи N задается выражением

Проиллюстрируем топологические оценки матриц полных сопротивлений холостого хода и матриц проводимостей короткого замыкания -полюсной -цепи. Следующий пример взят из работы [13.2].

Рис. 13.3.

Рассмотрим цепь, представленную на рис. 13.3. Элементы этой цепи обозначены символами а, b, с, d и е. Номиналы ее элементов показаны на рисунке. Отметим, что 3 и 0 обозначают одну и ту же вершину. Поэтому цепь N не содержит остовных -деревьев типа По этой же причине она не содержит остовных -деревьев типа

Остовы, остовные -деревья и -деревья, необходимые для определения получаются следующим образом:

Остовы:

Из приведенных выше деревьев можно получить

Используя эти выражения и теоремы 13.2 и 13.3, можно получить

1
Оглавление
email@scask.ru