11.3. Метод смешанных переменных

В этом разделе обсуждается анализ цепей с помощью метода смешанных переменных. В этом методе, который является по сути комбинацией как метода контуров, так и метода сечений, некоторыми независимыми переменными являются напряжения, а другими независимыми переменными — токи. Ограничим наше рассмотрение -цепями (без взаимных индуктивностей), содержащими независимые источники тока и напряжения. Его можно распространить непосредственно на цепи с взаимными индуктивностями.

Рассмотрим связную цепь N. Допустим, что элементы N разбиты на два таких подмножества что содержит все источники напряжения, а — все источники тока. Пусть — цепь, полученная удалением из цепи N, a получена стягиванием всех элементов Пусть — остовный лес цепи — остов . Тогда является остовом N. Мы выбираем такие что Т содержит все источники напряжения, но не содержит источников тока.

Определим

- подграф , содержащий все элементы из исключая источники напряжения;

— дополнение в

— дополнение в

— подграф содержащий все элементы из Та, кроме источников тока.

Разобьем вектор напряжений на элементах и вектор токов в элементах следующим образом:

где индексы относятся к источникам напряжения тока, а также к элементам ; соответственно. Теперь мы ищем описание цепи через переменные и Используя матрицы по отношению к Т, можно записать уравнения ЗКН и ЗКТ следующим образом:

    (11.25)

Примечание. Объясните присутствие нулевой подматрицы в столбце, соответствующем

Рассмотрим вторые системы уравнений в выражениях (11.25) и

    (11.28)

Используя -соотношения, получим Теперь можно записать выражения (11.27) и (11.28) в виде

    (11.29)

Из контурного преобразования и преобразования сечения имеем

    (11.31)

Теперь, подставляя в выражения (11.29) и (11.30) и группируя члены, получим

Полученное соотношение называется гибридной системой или системой уравнений со смешанными переменными.

Нетрудно убедиться, что если определены с использованием уравнений, приведенных выше, то все другие переменные можно легко вычислить, используя выражения (11.25) и (11.26), а также контурное преобразование и преобразование сечения.

Заметим, что метод смешанных переменных сводится к контурному методу, если выбрать и сводится к методу сечения, если выбрать , где Е — множество элементов цепи N. Далее система уравнений со смешанными переменными включает переменных. Очевидно, что число зависит от выбора и . Отсюда возникает проблема такого разбиения системы элементов Е цепи N, чтобы сумма была по возможности минимальной. Метод получения такого разбиения обсуждается в следующем разделе.