11.5. Уравнения состояния

В разд. 11.2-11.4 для описания цепи рассматривались системы контурных уравнений, уравнений сечения и уравнений со смешанными переменными. Во временной области эти уравнения являются интегродифференциальными. В данном разделе мы описываем цепи в виде дифференциальных уравнений первого порядка без интегралов. Одной из причин такого описания является то, что в математической литературе имеется масса информации по решению подобных уравнений и свойствам таких решений, которые можно легко использовать в рассматриваемом случае. Далее, представление состояния является более общим в том случае, когда оно применимо к меняющимся во времени и нелинейным цепям. Вновь ограничиваем наше внимание специальным классом RLC-цепей с взаимными индуктивностями и независимыми источниками тока и напряжения.

Уравнения состояния электрической цепи N формулируются с использованием в качестве переменных производных емкостных напряжений и индуктивных токов. Очевидно, что не все емкостные напряжения можно выбрать в качестве независимых переменных, потому что в цепи могут существовать контуры, состоящие только из емкостей. Аналогично не все индуктивные токи можно выбрать в качестве независимых переменных, потому что могут существовать

сечения, состоящие только из индуктивностей. Как и в случае методов контура и сечения, исходным пунктом для вывода уравнений состояния является выбор соответствующего остова. В частности, выбираем такой остов, который содержит 1) все источники напряжения и ни одного источника тока, 2) наибольшее возможное число емкостей и 3) наименьшее возможное число индуктивностей. Остов, выбранный в соответствии с этими правилами, называется нормальным деревом.

Для заданной цепи N пусть — подграф цепи N, который содержит все источники напряжения и емкости, — подграф цепи , который содержит все источники напряжения, емкости и сопротивления. Нормальное дерево цепи N можно выбрать следующим образом:

1. Сначала выбрать такой остовный лес из чтобы он содержал все источники напряжения.

2. Затем выбрать такой остовный лес из что .

3. К добавить столько индуктивностей, сколько необходимо, чтобы получить остов Т из N. Полученное таким образом дерево является нормальным деревом цепи

В качестве примера нормальное дерево цепи, изображенной на рис. 11.7, а, представлено на рис. 11.7, б.

Рис. 11.7. а — цепь; б — нормальное дерево цепи.

После выбора нормального дерева Т дадим разбиение вектора напряжений элемента и вектора токов элемента следующим образом:

где индексы E, J, C, R и L относятся к источникам напряжения, источникам тока, емкостям, резисторам и индуктивностям соответственно, а индексы t и I — к ветвям и хордам Т соответственно.

Затем подматрицу фундаментальной матрицы сечений можно разбить так:

Связи

Заметим, что Если бы существовала емкость в фундаментальном сечении по отношению к некоторому сопротивлению, то удаление этого сопротивления из Т и добавление этой емкости привело бы к тому, что в остове было бы на одну емкость больше, чем в Т. Это противоречило бы выбору нормального дерева Т. Аналогично можно показать, что Из уравнений ЗКТ и отсюда получаем следующее:

    (11.34а)

Далее из преобразования сечений получаем

    (11.35а)

Используя элементные соотношения и приведенные выше уравнения, мы должны получить уравнения состояния, исходя из производных Все другие переменные, не связанные с источниками, необходимо исключить.

Для емкостей нежелательными переменными являются а для индуктивностей Исключим эти переменные. Сначала перепишем выражение в виде

Затем, используя соотношения для емкостей в приведенных выше выражениях

и подставляя из уравнения (11.35а), получим

где

Можно показать, что является матрицей проводимости сечений цепи, полученной из N удалением всех хордовых элементов, за исключением емкостей и стягиванием всех элементов дерева, кроме емкостей.

Аналогично, исходя из уравнения (11.35в) и используя -соотношения

а затем заменяя из уравнения (11.34г), можно получить следующее отношение для индуктивностей:

    (11.37)

где

Можно показать, что 3 является матрицей полных сопротивлений цепи, полученной удалением всех хордовых элементов, кроме

индуктивностей, и стягиванием всех элементов дерева, кроме индуктивностей.

Теперь необходимо исключить из уравнений (11.36) и (11.37). Для этого рассмотрим следующие -соотношения: После подстановки из уравнений (11.356) и (11.34в) приведенные выше уравнения примут вид

    (11.38)

Подставляя из выражений (11.38), (11.39), приводим к виду

    (11.40)

Приведенное выше уравнение для можно решить тогда и только тогда, когда существует обратная матрица для Эту матрицу можно представить в виде , где . Можно показать, что матрица является матрицей проводимости сечений цепи, полученной из N удалением всех хордовых элементов, кроме сопротивлений, и стягиванием всех элементов дерева, кроме сопротивлений. В таком случае матрица, обратная этой, существует, и уравнение (11.40) можно решить относительно

Далее подставим в уравнение (11.36) и в том виде, в каком они получены выше, и получим следующие уравнения состояния:

где

    (11.42)

Матрицы и являются невырожденными в случае -цепи, и поэтому в таких случаях можно переписать уравнение (11.41) в виде

Определив из уравнения (11.44), можно получить все остальные напряжения и токи, исходя из . Те, кого интересуют детали, могут обратиться к работам [11.11, 11.12]. Уравнение состояния (11.44) не приведено к нормальной форме, так как присутствуют производные от VE и Определяя новое множество переменных, можно привести уравнение (11.44) к нормальному виду [11.11]. В качестве примера рассмотрим цепь, показанную на рис. 11.7, а. Нормальное дерево цепи представлено на рис. 11.7, б. Матрица в форме разбиения дана ниже:

Отсюда получаем

Используя приведенные выше матрицы, получаем

Уравнения состояния цепи, приведенной на рис. 11.7, получаются с использованием уравнения (11.41):