11.2. Системы контурных уравнений и уравнений сечений

Как мы уже говорили раньше, задачей анализа цепи является определение токов и напряжений, связанных с элементами электрической цепи. Эти напряжения и токи можно определить из уравнений Кирхгофа и отношений ток — напряжение (кратко ) на элементах цепи. Однако эти уравнения содержат большее число переменных. Далее, как видно из теоремы 11.2, вместо уравнений ЗКТ можно использовать контурное преобразование, которое включает в качестве переменных только хордовые токи. Аналогично уравнения ЗКН можно заменить преобразованием сечения, которое включает только переменные напряжения на ветвях. Можно использовать преимущества этих преобразований для построения различных систем уравнений цепи, которые включают в качестве переменных только подмножество напряжений и (или) токов. Две такие системы уравнений, известные как контурная система и система сечения, мы исследуем в этом разделе.

При выводе контурной системы используем контурное преобразование вместо ЗКТ, и контурные переменные в этом случае будут служить в качестве независимых. При выводе системы сечений используем преобразование сечения вместо ЗКН, и переменные сечения будут служить в качестве независимых в данном случае.

Рассмотрим связную электрическую цепь N. Допустим, что цепь N состоит только из резисторов R, емкостей С и индуктивностей L, включая взаимные индуктивности, и независимые источники тока и напряжения. Допустим также, что начальные токи индуктивностей и напряжения емкостей заменены соответствующими источниками. Далее, переменные токов и напряжений являются преобразованием Лапласа комплексных частотных переменных.

В цепи N не может быть контура, состоящего только из независимых источников напряжения. Если бы такой контур имелся, то в соответствии с ЗКТ имелось бы и линейное соотношение между соответствующими напряжениями, нарушающее независимость источников напряжения. По этой же причине в цепи N не может быть сечения, состоящего только из независимых источников тока. Поэтому, следуя теореме 10.12, в цепи N существует остов, содержащий все источники напряжения, но не содержащий источников тока. Такой остов — отправная точка для построения систем как контурных уравнений, так и уравнений сечения.

Сначала выведем контурную систему. Пусть Т — такой остов данной цепи, что он содержит все источники напряжения, но не

содержит источников тока. Разделим вектор напряжений на элементах токов в элементах следующим образом:

где подстрочные индексы 1, 2 и 3 относятся к векторам, соответствующим источникам тока, -элементам и источникам напряжения. Пусть — фундаментальная цикломатическая матрица цепи N по отношению к Т. Уравнение ЗКН для цепи N можно записать следующим образом:

т. е.

    (11.13)

Вместо ЗКТ можно использовать контурное преобразование

где обозначает вектор токов, связанный с хордами в остове Т, не содержащем источников.

Из этих уравнений получаем

Заметим, что среди хордовых токов должны быть определены только те, что входят в Если является матрицей полных сопротивлений -элементов, то отношения для этих элементов можно записать в виде

    (11.17)

Используя выражения (11.17) в (11.14), получим Используя выражение (11.15) в вышеприведенном уравнении и преобразовывая его, получим

    (11.18)

Полученное соотношение является контурной системой уравнений, которая включает только -переменные, где — число источников тока в цепи N. Отметим, что равно цикломатическому числу цепи, полученной после удаления из N всех источников тока.

Матрица вуравнении (11.18) называется матрицей импедансов контура цепи N. Если цепь N не имеет взаимных индуктивностей, то будет диагональной матрицей без нулевых элементов на диагонали. Следовательно, в этом случае Z будет невырожденной, поскольку Вимеет максимальный ранг, равный Если цепь N имеет взаимные индуктивности, то Z будет невырожденной, если только является положительно определенной.

Найдя 11, используя выражение (11.18), можно найти используя выражение (11.15), и , используя выражение (11.17). Затем можно определить используя выражения (11.13) и (11.16). (Отметим, что и имеют определенные значения.) Этим можно было бы закончить анализ цепи N с использованием контурной системы уравнений. Заметим, что контурная система выводится сначала подстановкой отношений для элементов в уравнение ЗКН и затем использованием контурного преобразования. В результате можно вывести систему уравнений сечения в точном соответствии с принципом двойственности.

Сначала запишем уравнения ЗКТ в распределенной форме

где матрица коэффициентов является той же самой, что и фундаментальная матрица сечений цепи N по отношению к Т. Из этих уравнений получим

    (11.19)

Вместо уравнений ЗКН можно использовать преобразование сечения

где — вектор напряжений, связанный с ветвями остова Т, не содержащими источников. Из этих уравнений получаем

    (11.22)

Если — матрица проводимости -элементов в цепи N, то отношение на элементах можно записать в виде

    (11.23)

Теперь совсем нетрудно вывести систему уравнений сечения, которая устанавливает взаимосвязь между Используя выражение (11.23) в (11.19), получим Подставляя формулу

(11.22) в полученное выше выражение, имеем

    (11.24)

Полученное соотношение является системой уравнений сечения, которая включает -переменные, где — число источников напряжения в цепи N. Отметим, что равно рангу цепи, полученной из N стягиванием всех источников напряжения. Матрица в выражении (11.24) называется матрицей проводимости сечения.

Эта матрица будет невырожденной, если N не имеет взаимных индуктивностей. Если N имеет взаимные индуктивности, то будет невырожденной только в том случае, если положительно определена.

Если определено с использованием выражения (11.24), то можно определить используя выражение (11.22), и затем определить используя выражение (11.23). Наконец, можно определить из выражений (11.20) и (11.21) соответственно. Теперь проиллюстрируем определение контурной системы уравнений и системы уравнений сечения.

Рис. 11.3. Электрическая цепь и ее граф.

Рассмотрим цепь, представленную на рис. 11.3, а, единичная ступенчатая функция. Граф этой цепи показан на рис. Выбираем остов Т, состоящий из ребер 4, 5 и 6. Заметим, что он содержит источник напряжения и не содержит источников тока. Фундаментальные цикломатическая матрица и матрица сечений по отношению к остову Т даны ниже в требуемой распределенной форме:

Из этих матриц получаем

Также имеем

а также

Используя эти соотношения в выражениях (11.18) и (11.24), получим контурную систему уравнений и систему уравнений сечения, как показано ниже:

Система контуров

Система разрезов

Предположим, что цепь N не имеет независимых источников напряжения. Тогда удобное описание N с помощью узловых напряжений как независимых переменных можно получить следующим образом:

Пусть А — матрица инциденций цепи N, усеченная по вершине Рассмотрим разбиение матрицы А в виде , где столбцы соответствуют -элементам и источникам тока. Если и -столбцы токов в -элементах и токи от источников тока, то уравнение ЗТК для N можно записать в виде Имеем также где — вектор-столбец напряжений на -элементах, соответствующая матрица проводимостей. Далее, узловым преобразованием выражения (11.12) получаем

где — вектор-столбец напряжений в узлах. Таким образом, из уравнений ЗКТ получаем

Полученные уравнения называются узловыми уравнениями. Матрица называется матрицей узловых проводимостей