11.6. Свойство неусиления в резистивных цепях
Эту главу мы завершаем интересным приложением теории графов к исследованию электрических цепей.
В теории цепей хорошо известно, что для заданной цепи, состоящей из резисторов и источников, величина напряжения на всех резисторах не выше суммы величин напряжений на источниках. Это свойство резистивных сетей известно как свойство неусиления. В этом разделе дается доказательство свойства неусиления. Это доказательство благодаря Волаверу [11.131 является чисто теоретико-графовым.
Напомним, что цикл, в котором все ребра ориентированы одинаково относительно ориентации этого цикла, называется ориентированным циклом. Сечение, в котором все ребра ориентированы одинаково по отношению к ориентации этого сечения, называется ориентированным сечением.
Доказательство неусиления, данное Волавером, основано на специальном случае леммы Минти о раскраске дуг (теорема 10.31), а именно на том, что в ориентированном графе каждое ребро находится либо в ориентированном цикле, либо в ориентированном сечении, либо отсутствует в обоих.
Теорема 11.7. Для заданной цепи источников и (линейных/нелинейных) положительных сопротивлений величина тока в любом сопротивлении с нулевым напряжением не больше суммы величин токов, текущих через источники.
Доказательство. Пусть все элементы с нулевым падением напряжения исключены (их можно рассматривать как короткие замыкания). Пусть направления рассмотрения элементов выбраны так, что все напряжения на элементах положительны. Тогда рассмотрим произвольное сопротивление с ненулевым напряжением. Не может существовать ориентированного цикла, который содержал бы такое сопротивление. Если бы такой направленный цикл существовал, то сумма всех напряжений по этому циклу цепи была бы ненулевой, что противоречит закону Кирхгофа для напряжений. Поэтому, как было показано раньше, существует ориентированное сечение, которое содержит рассматриваемое сопротивление. Пусть ток в рассматриваемом сопротивлении равен 
. Выберем ориентированное сечение, которое содержит это сопротивление. Пусть R — множество всех других сопротивлений в этом сечении, 
множество всех источников в сечении. Применяя закон Кирхгофа к сечению, получаем 
. Так как сопротивления положительны, то 
для каждого сопротивления. Так как все напряжения положительны, ток в каждом из сопротивлений не отрицателен, и можно записать 
Отсюда 
что и требовалось доказать.
Следующая теорема является двойственной к доказанной выше. Доказательство следует из принципа двойственности.
Теорема 11.8. Для заданной цепи, состоящей из источников и (линейных/нелинейных) положительных сопротивлений, величина напряжения на любом из сопротивлений не больше суммы величины напряжений на всех источниках.
Работы [11.14, 11.15] являются одними из первых, в которых обсуждается свойство неусиления.
