12. ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

До сих пор мы имели дело только со стационарными состояниями атомов. Рассмотрим теперь переходы между этими стационарными состояниями. Мы хотим исследовать взаимодействие атомной системы с электромагнитным полем излучения. Уравнение Шредингера для частицы с зарядом в электромагнитном поле, описываемом векторным потенциалом А, есть [1]

Мы выбрали калибровку , что всегда возможно в отсутствие источников электромагнитного поля, и опустили член, пропорциональный и пренебрежимо малый.

Воспользуемся полуклассическим подходом к задаче в том смысле, что, хотя движение частицы квантовано, электромагнитное поле будет рассматриваться классически. Предполагается, следовательно, что можно с полной определенностью задать векторный потенциал в каждой точке пространства в каждый момент времени с помощью классических уравнений Максвелла для вакуума

Тогда

Мы увидим, что такой подход дает правильное описание влияния внешнего поля излучения на частицу (поглощение и индуцированное излучение), но не влияния частицы на поле (спонтанное излучение). Причина того, что для первых двух явлений результаты оказываются правильными, лежит в принципе соответствия. Квантованное поле излучения можно рассматривать как совокупность квантовых осцилляторов, причем возбужденное состояние осциллятора соответствует наличию фотонов. Для больших значений (много фотонов, интенсивный луч) принцип соответствия позволяет использовать классическое описание поля. Поэтому следует ожидать, что приближенная полуклассическая трактовка даст правильные результаты в том случае, когда на систему действует внешнее излучение большой интенсивности. Однако уравнение (12.1) линейно по векторному потенциалу А. Следовательно, результаты, справедливые для интенсивного луча, должны быть верными также и для слабого луча. Такая ситуация действительно имеет место, и это связано с тем удачным обстоятельством, что в случае гармонического осциллятора принцип соответствия справедлив уже для малых значений квантового числа n.

Эти соображения теряют силу для случая спонтанного излучения. Это излучение происходит безотносительно к присутствию первоначального внешнего поля, т. е. ускоренный заряд излучает независимо от того, действует на него внешнее поле или нет. По крайней мере один квант излучения должен быть испущен, поэтому данный эффект нелинеен по полю, и невозможно просто экстраполировать принцип соответствия на случай испускания одного кванта. В последовательной теории следует проквантовать электромагнитное поле, т. е.

нужна квантовая теория поля. Однако вероятность спонтанного излучения можно найти из общих условий равновесия. Мы увидим также, что этот результат получается путем разумной экстраполяции классической теории излучения.

Поглощение и индуцированное излучение

Уравнения (12.4) для векторного потенциала А имеют решения в виде плоской волны

где — постоянный комплексный вектор, определяющий как интенсивность, так и поляризацию, и —волновой вектор. Вектор перпендикулярен Физическим решениям соответствует вещественная часть выражения (12.5). Напряженности электрического и магнитного полей определяются следующими формулами:

    (12.6 а)

Вектор Пойнтинга направлен вдоль k. Усредняя его по периоду колебаний получаем

где . Величина (12.7) представляет собой интенсивность луча [в ]. Можно также ввести число квантов излучения, падающих на единичную площадку за единицу времени при этом из равенства (12.7) следует

Расчет по теории возмущений

Будем рассматривать член в уравнении (12.1) как возмущение, задавая векторный потенциал А как действительную часть выражения (12.5). Если система первоначально находилась в состоянии

и в момент времени было включено возмущение, то в первом порядке нестационарной теории возмущений амплитуды выражаются следующим образом:

Здесь . Тогда

Вероятность того, что переход произойдет, отлична от нуля, только если

т. е.

    (12.10а)

или

    (12.106)

Первое из этих условий соответствует поглощению одного кванта, второе отвечает индуцированному испусканию. Весьма примечательно, что мы получаем квантование излученной или поглощенной энергии, не вводя заранее каких-либо предположений о квантовании электромагнитного поля. Сохранение энергии для совокупности частицы и поля обеспечивается условиями (12.10). В том случае, когда вероятность найти систему в состоянии f с большей энергией пропорциональна величине . Когда вероятность найти систему в состоянии с меньшей энергией пропорциональна величине

Чтобы получить вероятность перехода за единицу времени, предположим сначала, что переходы могут идти в группу близких по энергии или непрерывно распределенных конечных состояний механической системы

(системы электронов). Переход будет сопровождаться или поглощением или индуцированным излучением кванта. Нетрудно допустить, что рассматриваемая группа состояний покрывает интервал значений энергии, малый по сравнению с ; тогда удовлетворяется лишь одно из соотношений . В таком случае отнесенная к единице времени вероятность перехода в конечные состояния этой группы дается известной формулой

    (12.11)

Здесь - плотность состояний в рассматриваемом интервале энергий и величина представляет собой или в зависимости от того, что рассматривается — поглощение или испускание. На больших расстояниях от области действия возмущения волновые функции конечных состояний близки к плоским волнам, так что можно написать

— телесный угол, внутри которого находится импульс улетающего электрона, -объем квантования.

В случае поглощения выражение для вероятности перехода принимает вид

    (12.13)

Здесь величина представляет собой проекцию градиента волновой функции на направление векторного потенциала А. Импульс электрона был положен равным . Волновая функция конечного состояния асимптотически переходит в плоскую волну , так что зависимость от нормировочного объема V из правой части равенства (12.13) выпадает. Множитель можно выразить с помощью формулы (12.8) через число N квантов, падающих на в 1 сек.

Дифференциальное поперечное сечение поглощения излучения тогда равно

    (12.14)

где функция нормирована теперь на единичную амплитуду на больших расстояниях от атома. Равенство (12.14) определяет дифференциальное сечение фотоэлектрического эффекта, когда фотоэлектрон выбивается из атома в направлении, задаваемом углами в сферической системе координат с осью вдоль падающего луча. Вычисление этого сечения будет впоследствии проведено в гл. 14.

Если конечное состояние принадлежит дискретному спектру, то невозможно, как раньше, вычислить величину Действительно, в случае монохроматического излучения условия (12.10), выражающие закон сохранения энергии, в общем случае не могут выполняться. Поэтому делается допущение, что излучение охватывает некоторый интервал частот и между различными частотными компонентами нет каких-либо фазовых соотношений, так что излучение можно характеризовать интенсивностью, отнесенной к единичному интервалу частот, и эта интенсивность постоянна вблизи частоты со Интенсивность в области частот принимается равной Из равенства (12.7) получаем

    (12.15)

Вероятность перехода тогда представляет собой сумму вероятностей, отвечающих падающим волнам различных частот. Пусть число падающих квантов в интервале частот есть

а число падающих квантов, отнесенное к единичному интервалу частот, постоянно в той области частот, для которой вероятность перехода определенная с помощью формул (12.9), заметно отлична от нуля. Эта область частот расположена так, что частота находится примерно в ее центре, и ширина этой области

есть величина порядка 1/t. Время t легко выбрать значительно большим, чем так что существенная область частот будет фактически очень малой (нужно только, чтобы она была больше естественной ширины спектральной линии, соответствующей переходу ).

Чтобы упростить расчет, удобно переписать формулу для вероятности перехода в применении к одному конечному состоянию в форме, которую мы уже использовали в уравнении

    (12.16)

Здесь означает -функцию Дирака, величины представляют собой полные энергии конечного и начального состояний, соответственно. Так, в случае поглощения

    (12.17 а)

а для испускания

    (12.176)

Принимая во внимание предположение (12.15) и формулу (12.16), а также равенства (12.9) и (12.7), находим для вероятности перехода, идущего в одно конечное состояние,

    (1.2.18)

Интегрирование по соответствует нашему предположению о том, что вероятности переходов, обусловленных падающими волнами различных частот, складываются некогерентно (без каких-либо фазовых соотношений). Интегрирование по можно провести. Это дает множитель при условии, что частота включается в спектр падающих волн; в остальных отношениях значения пределов интегрирования по частоте со несущественны. Учитывая сказанное, имеем

Число падающих квантов можно заменить на интенсивность в единичном интервале частот: Получающееся в результате выражение не содержит константы Планка h и потому является квазиклассическим.

Вероятность испускания фотонов в единицу времени определяется таким же выражением, как и (12.19), с тем отличием, что частота заменяется на и входит другой интеграл, а именно

    (12.20)

В последнем выражении можно поменять местами индексы Это удобно в том отношении, что тогда индекс опять соответствует состоянию с большей энергией, а индекс — с меньшей. Затем можно проинтегрировать по частям. Заметим, что , так как векторный потенциал А перпендикулярен волновому вектору к. В результате для вероятности перехода в единицу времени находим

Очевидно, это выражение в точности совпадает с ранее полученным для случая поглощения. Вероятности переходов в обе стороны между любыми двумя состояниями под влиянием одного и того же поля излучения совершенно одинаковы. Это есть принцип детального равновесия, имеющий фундаментальное значение в статистической механике.

Мультипольные переходы

Разложим экспоненты в формулах (12.19) и (12.20) и удержим только первый член, приводящий к неисчезающему значению интеграла. Это допустимо, ибо, как можно заметить, отношение двух последовательных членов разложения — порядка , где а — характерная длина порядка радиуса атома. При этом для оптических переходов мы имеем

    (12-22)

Здесь сделано предположение, что энергия оптического перехода меньше 1 ридберг (1 ридберг = ) и что радиус атома Следовательно, . Для рентгеновских лучей энергия больше в раз, а длина а меньше в Z раз. Отсюда и для больших Z неравенство более не выполняется. При замене на 1 интересующий нас интеграл принимает вид

Нижний индекс А указывает на то, что берется компонента вектора в направлении векторного потенциала А. Вероятность перехода за единицу времени для поглощения и вынужденного испускания выражается тогда следующим образом:

    (12.24)

Положим , обозначим через угол между векторами и А и усредним вероятность w по . Получим

Это выражение, очевидно, обладает правильной размерностью: — постоянная тонкой структуры, представляет собой число квантов, падающих на в 1 сек, — площадь.

Переходы, вероятности которых правильно рассчитываются в использованном выше приближении, называются электрическими дипольными переходами, так как есть оператор, соответствующий электрическому дипольному моменту атома. Если дипольный матричный элемент равен нулю, то говорят, что переход запрещен. Если в нуль обращается весь интеграл в выражениях (12.19) и (12.21), а не только соответствующий дипольному приближению первый член разложения, то говорят, что переход строго запрещен. В обоих

этих случаях не следует делать вывода, что переходы невозможны. Если дипольный переход запрещен, то нужно взять следующие члены разложения экспоненты . В случае когда переход строго запрещен, надо воспользоваться следующим порядком теории возмущений и включить в рассмотрение отброшенный ранее член это приводит к возможности одновременного испускания двух фотонов.

Спонтанное излучение

Классическая задача о спонтанном излучении электромагнитных волн током плотности J, осциллирующим с угловой частотой со, приводит к следующему результату для интенсивности излучения в волновой зоне (в направлении k):

Здесь определяется [29] формулой для плотности тока в точке в момент времени

Величина есть перпендикулярная волновому вектору к компонента плотности тока J. В дипольном приближении выражение (12.26) сводится к следующему:

Положив, по определению,

    (12.28)

мы можем сделать вывод, что поляризация будет линейной, когда вектор имеет только одну компоненту в плоскости, перпендикулярной к. Если в этой плоскости лежат две компоненты равные по величине, перпендикулярные друг другу и сдвинутые по фазе на 90°. то поляризация будет круговой; и т. д. Формулу (12.27) можно переписать в виде

    (12.29)

где угол между . Полная мощность излучения равна интегралу от величины (12.29) по сфере радиуса . Такое интегрирование дает

    (12.30)

Чтобы перейти на язык квантовой механики, нужно сопоставить току квантовомеханический оператор и интерпретировать мощность излучения как произведение энергии кванта на вероятность перехода в единицу времени. В соответствии с общепринятым отождествлением плотности заряда с величиной разумно принять, что квантовомеханический оператор, отвечающий току J, дается известным выражением, следующим из шредингеровского уравнения непрерывности,

    (12.31)

Вероятность испускания кванта за единицу времени при переходе из состояния f в состояние определяется тогда величиной (12.26), умноженной на и поделенной на Лео, причем ток должен быть выражен по формуле (12.30). Именно,

При выводе этой формулы второе слагаемое в правой части (12.31) было еще проинтегрировано по частям. При таком интегрировании существенно то обстоятельство, что берутся лишь компоненты градиента, перпендикулярные вектору к; благодаря этому производная от не появляется в выражении (12.32).

В отличие от случая индуцированного излучения сохранение энергии не получается здесь автоматически как естественный результат теории. Приходится дополнительно постулировать равенство . Испусканию излучения определенной поляризации соответствует подстановка вместо в выражение (12.32). В дипольном приближении после интегрирования по углам формула (12.32) дает

    (12.33)

Вероятности переходов по Эйнштейну

То, что проделанный выше переход от классического описания к квантовомеханическому приводит к правильным результатам, обосновывается с помощью соображений, выдвинутых Эйнштейном [30]. Рассмотрим состояние термодинамического равновесия между атомами и полем излучения, устанавливающееся в результате поглощения и испускания фотонов частоты . Как мы уже выяснили, скорости двух из трех процессов, которые могут быть ответственны за приближение к равновесию, а именно вынужденного испускания и поглощения, пропорциональны величине - плотности энергии поля излучения на единицу частоты

    (12.34)

Третий процесс, спонтанное излучение, может идти даже в отсутствие внешнего излучения и, следовательно, не зависит от . Скорость, с которой атомы совершают переходы (поглощение), равна

    (12.35)

где — число атомов в состоянии п. Скорость обратных переходов (испускание) записывается следующим образом:

    (12.36)

Величины называются эйнштейновскими вероятностями спонтанных и индуцированных переходов, соответственно. В условиях равновесия обе эти скорости должны быть равны, согласно принципу детального равновесия, . Таким образом,

Из статистической механики известно, что в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т

    (12.39)

и

    (12.40)

Последнее выражение дает плотность лучистой энергии на единичный интервал частот при температуре Т. Это, конечно, хорошо известная формула Планка. (Фактически мы здесь излагаем метод Эйнштейна, использованный им при выводе формулы излучения Планка. В то время не существовало способа определения отношения . Чтобы выражения (12.38) и (12.40) совпадали, должно иметь место следующее соотношение:

Сравнивая формулы (12.33) и (12.25), видим, что соотношение (12.41) выполняется в случае дипольного излучения. В общем случае, мы должны сравнивать формулы (12.32) и (12.21) и иметь в виду то обстоятельство, что выражение в правой части (12.32) учитывает два направления поляризации (это дает множитель 2) и что его следует проинтегрировать по (это дает множитель ). Если затем усреднить выражение (12.21) по направлениям векторов к и А и использовать равенство (12.34), то мы вновь убедимся, что соотношение (12.41) выполняется.

Итак, мы обосновали формулу (12.32) для спонтанного излучения, включая численные множители, с помощью соображений Эйнштейна относительно статистического равновесия. Можно заметить, что интеграл в формуле (12.32) имеет тот же самый вид, что и в формуле (12.21) для случая индуцированного испускания; также соображение в пользу правдоподобности формулы (12.32). Наиболее удовлетворителен способ ее вывода с помощью теории поля, таким путем она и будет получена в гл. 21. Коль скоро формула (12.32), а отсюда и соотношение (12.41) обоснованы, мы можем,

конечно, использовать соображения Эйнштейна по их первоначальному назначению, а именно для вывода формулы Планка.

Ширина линии

Полученные выше результаты приводят нас к выводу, что спектральные линии будут бесконечно резкими в соответствии с тем, что энергии стационарных состояний, участвующих в переходе, считаются заданными совершенно точно. Такой подход, конечно, является приближенным, ибо известно, что наблюдаемые спектральные линии обладают конечной шириной. Действительно, благодаря спонтанному излучению, состояния электронов фактически не стабильны, а затухают. Вероятность перехода за единицу времени для такого затухания определяется формулой (12.33). Из нее видно, в частности, что эта величина не зависит от времени. Из теории вероятностей хорошо известно, что подобные не зависящие от времени процессы подчиняются экспоненциальному закону затухания, т. е. убывание вероятности заполнения состояния описывается законом , где величина называется временем жизни. Амплитуда тогда затухает как Для оптического перехода сек, что значительно больше характерного периода движения электрона (порядка сек). Поэтому в первом приближении вполне допустимо рассматривать состояния как стационарные.

Вейскопф и Вигнер [31, 32] проанализировали роль такого затухания. На основе последовательной квантовой теории поля излучения они нашли, что спектр испускаемого излучения получается правильным, если допустить, что волновые функции начального и конечного -состояний зависят от времени по экспоненциальному закону

    (12.42)

Тогда зависит от времени как

    (12.43)

Если взять Фурье-образ по времени от этого выражения, дабы определить частоту излучения , то оказывается,

что интенсивность последнего (квадрат модуля амплитуды) пропорциональна величине

Отсюда определяется естественная ширина линии (в пренебрежении эффектом Допплера, уширением за счет столкновений и т. д.). При испускании распределение интенсивностей описывается формулой (12.44); такой же зависимости подчиняется и коэффициент поглощения.

Заметим, что здесь имеется противоречие с классическими принципами, согласно которым можно было бы ожидать зависимости только от начального состояния. В формуле же для ширины линии стоит величина . Следовало бы ожидать или лоренцовой ширины, равной или, возможно, этой величины помноженной еще на силу осциллятора для рассматриваемой линии (см. гл. .13). Большинство физиков в период до развития квантовой механики относились предпочтительнее к последней идее и поэтому полагали, что слабые спектральные линии будут узкими. С другой стороны, формула (12.44) показывает, что спектральная линия должна быть широкой, если или у начального, или у конечного состояний время жизни мало, безотносительно к интенсивности самой линии. Опыт свидетельствует в пользу результата квантовой теории. Простым примером (хотя непосредственной экспериментальной проверки здесь нет) служит переход для гелия. В данном случае переход является слабым, потому что квантовые числа изменяются в противоположных направлениях (см. гл. 13), но у состояния время жизни очень мало (из-за сильного перехода ), и поэтому линия должна быть широкой.

Ясно, что вопрос о ширине линии связан с принципом неопределенности. Время жизни характеризует продолжительность пребывания квантовой системы в данном состоянии. Следовательно, энергию невозможно определить с точностью, превышающей . Если имеется такая неопределенность в энергии, то неопределенность в частоте будет равна у.