Часть III. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ПОЛЯ

19. КВАНТОВАНИЕ ПОЛЯ

Мы неоднократно отмечали в предыдущих главах, что для правильного квантовомеханического описания взаимодействия электромагнитного поля с частицами требуется квантование электромагнитного поля, т. е. квантовая теория поля. Дело в том, что при квантовании механических параметров (координат и импульсов) нужно также квантовать и связанные с ними поля. В противном случае, как показали Бор и Розенфельд [47], можно предложить такой мысленный эксперимент, который состоит в одновременном измерении координаты и импульса частицы по наблюдению создаваемого ею поля и который самым нарушает принцип неопределенности Гейзенберга.

Допустив необходимость квантования классических полей, таких, как электромагнитное, мы можем рассматривать и одночастичные уравнения Шредингера, Клейна—Гордона или Дирака как классические уравнения поля для плотности числа частиц или заряда. Далее можно их проквантовать таким же образом, как и электромагнитное поле. Эту процедуру обычно называют вторичным квантованием поля частиц. Основная цель, которую преследует квантование поля частиц, — это учет возможности изменения их числа. Выше при рассмотрении дираковской теории позитрона мы видели, что частицы могут рождаться парами, так что их общее число в самом деле способно изменяться. В обычной теории Шредингера для описания частиц используется -мерное пространство. Когда при рождении или уничтожении частиц число изменяется, гораздо удобнее использовать формализм, непосредственно допускающий изменение числа частиц, чем изменять число измерений пространства. Обычная теория Шредингера содержится в этом формализме. Действительно, Йордан и

Вигнер [48]) показали, что теория поля с фиксированном числом частиц эквивалентна обычной задаче многих тел. Поскольку при квантовании электромагнитного поля возникает несколько специфических проблем, мы начнем с квантования полей частиц (вторичного квантования), отложив рассмотрение квантовой электродинамики до гл. 21.

Аналитическая механика полей; лагранжев формализм

Программа квантования полей в точности следует общей процедуре квантования уравнений движения любой классической системы. Задается классический лагранжиан системы, определяются импульсы, канонически сопряженные координатам, и находится функция Гамильтона. Квантовые уравнения движения получаются путем замены скобок Пуассона соответствующими коммутаторами.

Рассмотрим поле, которое описывается одной переменной (амплитудой) функцией х, у, z и t. Хотя сначала мы рассмотрим нерелятивистское уравнение Шредингера, удобно уже теперь пользоваться единым обозначением для пространственных и временных переменных. Это вполне естественно, поскольку формализм аналитической механики поля в значительной мере рассматривает пространственные и временные переменные симметрично. Пусть, таким образом, есть функция пространственно-временных переменных Лагранжиан поля L есть пространственный интеграл от плотности функции Лагранжа Уравнения движения поля получаются с помощью принципа Гамильтона, который требует, чтобы действие (интеграл по времени от функции Лагранжа) было экстремальным. Иными словами, мы определяем плотность функции Лагранжа

где

и действие

Согласно принципу Гамильтона,

при дополнительном условии

где - пределы интеграла по времени в формуле (19.3). Отметим, что это условие менее ограничительно, нежели требование исчезновения вариации на «поверхности» 2, ограничивающей «объем» .

Вычисляя вариацию (19.3), имеем

(Здесь подразумевается суммирование по повторяющимся греческим индексам.)

Принимая во внимание, что

приводим равенство (19.6) к виду

Второй член в (19.8) можно преобразовать в «поверхностный» интеграл с помощью четырехмерной теоремы Гаусса

Здесь — трехмерная «поверхность», ограничивающая четырехмерный объем — проекция элемента этой «поверхности» на плоскость, нормальную к направлению

. Одно из четырех интегрирований в правой части (19.9) производится по всему пространству в моменты времени и и дает нуль в силу (19.5). Три прочих интегрирования производятся по двухмерным пространственным поверхностям и дают нуль, поскольку всегда предполагается, что рассматриваемые поля стремятся к нулю на больших расстояниях. Отсюда на основании (19.4) и (19.8) получаем

    (19.10)

Поскольку вариация в объеме Q произвольна, подынтегральное выражение должно обращаться в нуль тождественно, и мы получаем уравнения движения Эйлера — Лагранжа

    (19.11)

Данная плотность функции Лагранжа называется лагранжианом поля, если уравнение Эйлера — Лагранжа (19.11) приводит к правильным уравнениям поля. Лагранжиан, очевидно, определяется неоднозначным образом. В частности, добавление к нему слагаемого вида , где — произвольная функция не изменяет уравнений движения, поскольку вариация такого члена равна нулю. Если функция поля — не скаляр, т. е. если поле имеет больше одной компоненты, плотность функции Лагранжа должна зависеть от всех этих компонент и от их первых производных Варьируя каждую компоненту независимо, получаем для нее уравнения Эйлера — Лагранжа. В выражении (19.1) предполагалось, что зависит только от функции и от ее первых производных. В принципе можно было бы допустить и зависимость от производных высшего порядка. Это привело бы к уравнениям движения порядка выше второго. Такие уравнения, видимо, не встречаются в задачах, представляющих физический интерес. Отметим, наконец, что если бы мы потребовали,

чтобы действие S вело себя при преобразованиях Лоренца как скаляр или псевдоскаляр, то лагранжиан должен был бы быть, соответственно, псевдоскаляром или скаляром, поскольку есть псевдоскаляр.

Гамильтонов формализм

Как мы видели, можно определить действие и плотность функции Лагранжа ковариантным образом. Это привело к уравнениям движения Эйлера — Лагранжа, которые также ковариантны. Чтобы ввести гамильтониан, необходимо выделить время. При этом возникает осложнение, связанное с тем, что число степеней свободы рассматриваемой системы бесконечно и несчетно — соответственно несчетному множеству значений . Иными словами, мы должны говорить о плотностях, которые представляют собой не скаляры, а компоненты тензора второго ранга.

Чтобы преодолеть указанную трудность, разделим в какой-нибудь заданный момент времени t трехмерное пространство на малые ячейки Каждая ячейка считается столь малой, что никакая существенная физическая величина не меняется заметным образом в ее пределах. Среднее значение функции в ячейке обозначим оно будет играть роль координаты . Отождествим далее с где точка обозначает дифференцирование по времени.

Заменим затем пространственные производные разностями где Функцию Лагранжа будем рассматривать как функцию только от и запишем в виде

    (19.12)

(по повторяющимся латинским индексам суммирования не производится). Величина соответствует средней плотности функции Лагранжа в ячейке и зависит от . В пределе при получаем снова

    (19.13)

Поступая, как и в классической механике, находим импульсы, канонически сопряженные координатам ,

    (19.14)

поскольку только .2% зависит от . Определим плотность импульса равенством

    (19.15)

при переходе к непрерывными величинам это дает

    (19.16)

Составим теперь гамильтониан

    (19.17)

выражение для которого в пределе принимает вид

    (19.18)

Из формулы (19.18) явствует, что мы можем определить плотность функции Гамильтона равенством

    (19.19)

Полезно ввести функциональные производные от величины

    (19.20а)

С помощью функциональных производных уравнения Эйлера — Лагранжа можно записать в виде

    (19.21)

Плотность импульса будет

    (19.22)

Таким образом, использование функциональных производных позволяет записать уравнения Лагранжа для поля в виде, аналогичном формулам обычной механики частиц. Следует заметить, однако, что в этих обозначениях временная и пространственные координаты фигурируют по-разному, что необходимо в гамильтоновом формализме.

Чтобы получить канонические уравнения движения, заметим, что Я есть функционал от и, вообще говоря, t. Следовательно,

Переставим операции взятия дифференциала и производной во втором и четвертом слагаемых, проинтегрируем по частям и отбросим поверхностные члены, предположив, что подынтегральное выражение достаточно быстро убывает на больших расстояниях. Тогда равенство (19.23 а) можно с помощью функциональных производных переписать в виде

Действительно, дифференциал любой величины, плотность которой зависит от и t, можно представить в виде (19.23),

Выражая дифференциал Н с помощью определения (19.18), получаем

    (19.24)

На основании (19.21) и (19.22) имеем

    (19.25)

Приравнивая выражения (19.24) и (19.236), находим

    (19.26)

Уравнения (19.26) представляют собой не что иное, как канонические уравнения движения; равенство (19.27) есть тривиальное тождество.

Для полной производной по времени от величины F — функционала от и t — мы имеем

    (19.28)

Это соотношение определяет скобки Пуассона для функционалов от переменных поля. Ясно, что если величина Н не зависит явно от времени, то она представляет собой интеграл движения.

Квантование поля

Гамильтонов формализм позволяет проквантовать систему, заменив скобки Пуассона коммутаторами, умноженными на При этом функции поля (амплитуды и сопряженные им импульсы) становятся операторами, вообще говоря, некоммутирующими. Возвратимся к ячеечной модели, где мы отождествили . Правила перестановки принимают вид

    (19.29 а)

Их можно переписать следующим образом:

    (19.30 а)

Предельный переход к описанию с помощью непрерывных величин осуществляется путем суммирования (19.30) по всем ячейкам и превращения этих сумм в интегралы по всему пространству

    (19.31 а)

Отсюда следует, что

    (19.32 б)

Для полей с более чем одной компонентой правила перестановки имеют вид

    (19.33 б)

Это основные квантовые условия для поля. Переменные поля становятся операторами, которые могут и не коммутировать. Правила (19.33 а) непосредственно демонстрируют, что две величины или две величины в разных точках, но в один и тот же момент времени относятся к разным степеням свободы.

Уравнение движения для любого оператора F имеет вид

    (19.34)

Если даны явные выражения для F и Я через , то этот коммутатор можно вычислить с помощью соотношений (19.33).

В качестве примера двухкомпонентного поля рассмотрим комплексное поле, для которого

    (19.35 а)

где — вещественные величины. Мы обозначили здесь комплексно-сопряженную величину символом , а не как обычно, так как считается оператором. Уравнения Эйлера — Лагранжа получаются путем независимого варьирования по или, что то же самое, по . Они имеют вид

    (19.36 а)

Очевидно, оператор не обязательно комплексно сопряжен с . Однако, если лагранжиан веществен (эрмитов), то комплексно сопряжены. Правила перестановки (19.33) для и дают

    (19.37 а)

Все прочие коммутаторы равны нулю.