21. КВАНТОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА

Разовьем сначала классическую каноническую теорию электромагнитного поля и его взаимодействия с заряженными частицами. По существу, мы будем следовать формулировке Ферми [6], которой пользовался также Гайтлер в своей книге [5].

Полезно разложить потенциал по полной системе ортонормированных плоских волн. Для векторного потенциала имеем

Штрих у знака суммы означает, что суммирование производится по половине всех значений к, так что функция не дублирует . Индекс X принимает значения 1, 2, 3, что соответствует трем взаимно перпендикулярным направлениям поляризации. Операторы эрмитово сопряжены с так что оператор оказывается вещественным (эрмитовым). Функции исуть плоские волны

Они нормированы в объеме множитель введен для удобства в дальнейшем. Три величины — единичные векторы, образующие ортонормированную систему, причем

Множитель вставлен опять-таки ради удобства в дальнейшем. Скалярный потенциал можно разложить таким же образом, и мы это сделаем позже. Очевидно, должны иметь место следующие соотношения ортогональности:

Магнитное поле, равное , есть

Отметим, что продольно поляризованные плоские волны в разложении вектор-потенциала А не вносят вклада в магнитное поле. И наоборот, из формулы (21.5) явствует, что разложение по плоским волнам не со держит продольно поляризованных компонент. Для электрического поля имеет место обычное выражение

Разобьем на сумму вихревой и потенциальной (соответственно поперечной и продольной) частей. У свободного поля продольная часть отсутствует

На основании (21.1) имеем

Полная энергия поперечной части поля (энергия свободного поля)

Для вычисления первого слагаемого в интеграле воспользуемся равенством (21.5). Чтобы найти проще всего заметить, что и воспользоваться соотношениями ортогональности (21.4). Окончательный результат гласит:

    (21.10а)

Второе слагаемое в (21.9) вычисляется аналогичным образом с помощью соотношений (21.8) и (21.4). Оно равно

    (21.106)

Таким образом,

С помощью полученных выше выражений можно построить гамильтониан поперечного поля

    (21.11)

где

Другое каноническое уравнение движения дает

    (21.13а)

Сравнивая уравнения (21.13а) и (21.12), видим, что

Таким образом, поперечное поле описывается бесконечной системой осцилляторов. Уравнения (21.13) эквивалентны классическому волновому уравнению, которое вытекает из уравнений Максвелла.

Взаимодействие с частицей

Рассмотрим теперь релятивистский гамильтониан системы точечных частиц, каждая из которых обладает зарядом в заданном электромагнитном поле. Как известно, он имеет вид

Индекс нумерует частицы; функции суть потенциалы поля в точке, где находится частица. В нерелятивистском предельном случае

    (21.15)

Это есть обыкновенный нерелятивистский гамильтониан. Можно убедиться, что канонические уравнения движения, вытекающие из выражения (21.14), дают правильное релятивистское уравнение с силой Лоренца. Гамильтониан системы невзаимодействующих (пока) частиц есть, разумеется,

В правую часть (21.14) следует подставить потенциалы, обусловленные как внешними источниками, так и самими частицами. Первые пока учитывать не будем.

Потенциалы удовлетворяют обычным волновым уравнениям

    (21.17а)

где — плотность заряда, a v — скорость заряда. Поскольку эти поля уже не являются свободными, у них будут и продольные компоненты.

С помощью формулы (21.1) уравнение (21.17а) можно преобразовать к виду

Умножая это на и интегрируя, получаем

    (21.18б)

Поскольку p есть фактически сумма -функций, указывающих положения частиц, мы можем переписать уравнение (21.186) в виде

Это уравнение движения для осциллятора с собственной частотой причем на осциллятор действует вынуждающая сила, обусловленная заряженными частицами.

Аналогичным образом можно разложить и скалярный потенциал

    (21.19)

Отсюда

    (21.20)

Далее из соотношений (21.19), (21.3) и (21.2) следует, что

    (21.21а)

или, что то же самое,

    (21.21б)

поскольку

Условие Лоренца (21.17в) принимает вид

или с учетом (21.216)

    (21.22в)

т. е.

Таким образом, уравнения движения (21.17) эквивалентны равенствам (21.18в), (21.20) и (21,22в).

Последнее уравнение можно представить в виде начального условия с помощью следующего приема. Продифференцировав уравнение (21.20) по времени, получим

    (21.23а)

или

    (21.23б)

Таким образом, если при

    (21.24)

то равенство (21.22в) имеет место всегда. Мы, таким образом, заменяем условие Лоренца, которое должно выполняться во все моменты времени, двумя условиями, которые должны выполняться при Иначе говоря, мы ограничиваемся рассмотрением решений, удовлетворяющих начальным условиям (21.24). Тогда осцилляторы можно рассматривать как независимые.

Теперь мы можем написать дифференциальное уравнение движения в канонической форме. Можно убедиться, что гамильтониан полной системы есть

    (21.25)

где есть гамильтониан частиц, (21.14); гамильтонианы поля, причем дается формулой (21.11), а

    (21.26)

Величины представляют собой импульсы, канонически-сопряженные переменным Канонические уравнения полностью эквивалентны равенствам (21.18в) и (21.20). Можно получить, например, из них уравнение (21.20). Мы имеем

    (21.27)

Тогда

    (21.28)

откуда следует уравнение (21.20),

Кулоновское взаимодействие

Рассмотрим часть гамильтониана (21.25), зависящую от (т. е. от продольных волн). Эта зависимость встречается в — гамильтониане частицы и в . Можем написать

    (21.29)

С помощью равенств (21.22в) и (21.29) получаем

Далее, соотношения (21.20) и (21.22в) и канонические уравнения дают

При подстановке равенств (21.30) и (21.31) в (21.29) большинство членов взаимно уничтожаются, и в результате остается

Поскольку суммирование по i и производится независимо, величину можно переписать в таком виде, чтобы сразу была видна ее вещественность

Суммирование по k легко выполнить

Тогда

    (21.35)

Отметим, что у знака последней суммы штрих отсутствует, т. е. суммирование теперь производится по всем k. Применяя к оператор Лапласа по координате имеем

Последнее равенство есть условие полноты, справедливое для любой полной ортонормированной системы функций.

Интегрируя уравнение (21.36) и принимая во внимание, что на бесконечности функция должна удовлетворять обычным граничным условиям, получаем

Мы видим, таким образом, что часть полного гамильтониана (21.25), зависящая от продольных компонент поля, соответствует статическому кулоновскому взаимодействию между частицами и может быть выражена через координаты одних только частиц. На это можно было бы возразить, что мы неполностью учли зависимость гамильтониана (21.25) от продольных компонент, ибо не рассматривали продольные компоненты вектор-потенциала фигурировавшие под знаком радикала в формуле (21.14). Покажем теперь, что все решения, удовлетворяющие начальным условиям (21.24), можно получить из нового гамильтониана, который в свою очередь получается из (21.25), если подставить в качестве выражение (21.37) и опустить продольные компоненты А в оставшихся членах.

Для этой цели воспользуемся дифференциальным уравнением Гамильтона—Якоби для действия

Действие S зависит от всех канонических координат: (координат частиц), (фигурирующих в разложении А), (фигурирующих в разложении ) и величин, комплексно сопряженных с ними. Остается в силе ное соотношение для сопряженных импульсов

    (21.39)

которое было принято во внимание в уравнении (21.38). Будем искать решение этого уравнения в виде

    (21.40)

В последнем преобразовании было учтено уравнение (21.31). Таким образом, для получается следующее выражение:

Далее, полагая и принимая во внимание равенство (21.21б), находим

Таким образом, член фигурирующий в принимает вид

В правую часть (21.44) продольные компоненты не входят. Поэтому, полагая мы можем переписать гамильтониан (21.25) в виде

Чтобы понять смысл этого выражения, вспомним, что вклад от в (21.25), в силу определения (21.29), можно было привести к виду (21.37). Далее, гамильтониан непосредственно подставлялся в (21.45) в форме (21.11), в результате чего осталась только «кинетическая энергия» частиц . По виду этот член зависит от продольных компонент А, но, как явствует из формулы (21.44), фактически такая зависимость отсутствует. Из определения видно, что эта последняя величина также не содержит продольных компонент векторного потенциала А.

Второй член в выражении (21.45) содержит расходящиеся слагаемые . Это простой пример знаменитых расходимостей в теории поля; расходимость обусловлена бесконечной электростатической собственной энергией точечного заряда. Следует либо отбросить эти слагаемые, либо считать, что они содержатся в энергии покоя частицы Процедура исключения расходимостей релятивистски ковариантным образом называется перенормировкой; эта проблема выходит за рамки настоящей книги.

Выражение (21.45) представляет собой полный гамильтониан системы. Однако точно так же, как и в классической электродинамике, иногда удобно не включать все заряды в рассматриваемую систему, а описывать действие некоторых из них с помощью внешнего поля. Фактически это означает, что движение этих зарядов задается, и следовательно, внешнее поле считается известной функцией времени. Мы описываем внешнее поле потенциалами , которые должны удовлетворять условию Лоренца. Будучи заданными функциями времени, эти поля не должны квантоваться. В качестве примеров можно упомянуть внешнее магнитное поле при изучении эффекта Зеемана, поле атомного ядра, если квантовомеханическая система составляется только из электронов, и т. п. Разумеется, для внешних полей продольные компоненты не исключаются. Поэтому общее выражение для гамильтониана системы взаимодействующих точечных зарядов во внешнем поле есть

Входящим сюда величинам можно дать следующее физическое истолкование. Первое слагаемое включает энергию покоя, кинетическую энергию частиц, энергию взаимодействия их с внешним магнитным полем и полем излучения. Второе слагаемое описывает взаимодействие с внешним электрическим полем, а третье — статическое взаимодействие между точечными частицами. Последнее слагаемое представляет собой энергию свободного поля излучения.

Такой подход к квантовой электродинамике был предложен Гейзенбергом и Паули [51, 52] и Ферми [6]. Ему предшествовала теория поперечного поля излучения Дирака [39]. Гейзенберг и Паули рассматривали поле как функцию пространственных координат и времени. Это существенно с точки зрения вопроса о возможности одновременного измерения различных компонент

поля в одной или разных точках пространства — времени — вопроса, весьма детально изученного Бором и Розенфельдом. Однако использование пространственных координат вызывает добавочные технические трудности. Ферми удалось избежать их, рассматривая Фурье-компоненты поля. Книга Гайтлера [5] и наше изложение следуют Ферми.

Все эти формулировки, которые в свое время явились большим достижением, страдают одним недостатком: разделение полей на продольные и поперечные неиивариантно относительно преобразований Лоренца. Тем не менее это основной подход, послуживший отправным пунктом для более изящных методов Швингера и Фейнмана .

Квантование поперечного поля

Квантование поперечного поля производится с помощью обычных правил перестановки

    (21.47)

Совершая обратное преобразование Фурье, можно получить отсюда правила перестановки для самих полей. После длинных преобразований находим

Символы s и s обозначают здесь декартовы компоненты векторов. Правая часть (21.48) не обращается в нуль при . Это не противоречит принципу независимости измерений величин, разделенных пространственно-подобным интервалом, поскольку вектор-потенциал А не есть наблюдаемая величина. Из соотношения (21.48) вытекают равенства

    (21.49)

а также соотношения, получающиеся отсюда циклической перестановкой .

Легко найти, как зависят величины от времени

Здесь H — гамильтониан свободного поля (21.11). [Следует заметить, что равенство (21.50а) справедливо, даже если Н есть полный гамильтониан (21.46); однако равенство (21.506) имеет место только для свободного поля.] Эти уравнения, разумеется, находятся в соответствии с классическими уравнениями (21.12) и (21.13). Исключая из них получаем

    (21.51а)

Интегрируя уравнение (21.51а), находим

Множитель вставлен для удобства в дальнейшем; операторы определяются этим соотношением. На основании (21.50а)

Воспользовавшись равенствами (21.1) и (21.2), получаем отсюда

    (21.52)

Таким образом, есть суперпозиция волн, бегущих в направлениях k и —k.

Разрешая выражение (21.51) относительно имеем

Соответственно правила перестановки, вытекающие из соотношений (21.47), будут

Все прочие коммутаторы равны нулю. Гамильтониан (21.11) принимает вид

    (21.55)

где мы отождествили операторы и устранили ограничение, налагавшееся ранее на суммирование по k. Поскольку Н — сумма осцилляторных гамильтонианов, можно немедленно определить оператор числа частиц

    (21.56)

Этот оператор есть интеграл движения; собственные значения его равны Из общей теории гл. 20 известно также, что

или, что сводится к тому же,

Перенормируем гамильтониан свободного поля (21.55), отбросив в нем постоянную часть . Тогда,

будучи выражен через операторы числа частиц, он примет вид

    (21.58)

Импульс поля Р можно вычислить, вспомнив, что он равен пространственному интегралу от вектора Пойнтинга, деленному на . В квантовой теории этот результат принимает вид

    (21.59)

Взаимодействие с заряженными частицами

Запишем гамильтониан всей системы в виде

    (21.60)

Оператор состоит из двух частей: — энергия частиц (в том числе и энергий их статического взаимодействия) и — энергия свободного поля излучения. При этом

либо

Первое выражение — это гамильтониан Дирака, а второе — нерелятивистский гамильтониан Шредингера. Гамильтониан поля всегда имеет вид

    (21.62)

где индекс k означает совокупность k и . Оператор есть гамильтониан взаимодействия:

    (21.63а)

или

Второе выражение соответствует нерелятивистскому уравнению Шредингера и получается из (21.45) путем разложения квадратного корня. Первое выражение соответствует уравнению Дирака. Оно дает правильное уравнение Дирака для частицы в электромагнитном поле. Вспомнив, что есть скорость частицы, легко убедиться, что выражение (21.63а) приводит также к уравнению (21.18в) для фурье-компонент поля. Предполагается, что квантованные внешние поля отсутствуют.

В любом случае оператор рассматривается как возмущение, зависящее от времени. Собственное состояние Т оператора Н разлагается по собственным функциям

    (21.64)

Пусть в начальный момент система находилась в состоянии с для амплитуды конечного состояния, когда а число фотонов равно в случае дираковского гамильтониана мы получим

    (21.65)

Первое выражение здесь содержит интеграл по пространственным переменным и сумму по всем числам

заполнения, , а второе — только интеграл по пространственным переменным. Зависимость от времени приводит к закону сохранения энергии

    (21.66)

Видно, что вероятность испускания фотона пропорциональна . Это означает, что даже в отсутствие фотонов существует отличная от нуля вероятность их испускания. Мы видим, таким образом, что спонтанное и индуцированное излучения объединяются в одно явление. Можно показать далее, что отношение вероятностей индуцированного и спонтанного излуче равно тем самым получаются правильные значения для коэффициентов Эйнштейна (см. гл. 12).

Процессы поглощения рассматриваются таким же образом, только в конечном состоянии b число фотонов равно Расчет протекает так же, как и выше, только заменяется на . Таким образом, вероятность поглощения оказывается пропорциональной она отлична от нуля только в присутствии фотонов.