Часть II. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ТЕОРИИ

16. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА—ГОРДОНА

Нерелятивисткое уравнение Шредингера для свободной частицы можно получить, если заменить Е на на в нерелятивистской формуле

Если произвести ту же замену в релятивистской формуле

то получится уравнение Клейна — Гордона:

Это уравнение было также получено Шредингером.

Зададимся целью найти такие величины , которые удовлетворяли бы следующим критериям: величина должна быть вещественной, интеграл от нее должен сохраняться во времени и преобразовываться как скаляр при преобразованиях Лоренца; кроме того, требуется, чтобы удовлетворялось уравнение непрерывности вида

Чтобы выполнить поставленную задачу, определим следующим образом:

Ясно, что величина вещественна; можно проверить также, что соотношение (16.4) удовлетворяется. Рассмотрим и потребуем, чтобы волновая функция достаточно быстро убывала на больших расстояниях . Тогда, используя уравнение (16.4), находим, что интеграл является лоренц-инвариантной величиной и не зависит от времени.

Уравнение (16.3) имеет решение

где

Чтобы это уравнение переходило в (16.2), потребуем

Тогда

Физическая интерпретация уравнения Клейна — Гордона

Уравнение Клейна — Гордона можно записать в явно инвариантном виде

    (16.10)

Так как волновая функция имеет только одну компоненту, она должна преобразовываться как скаляр при преобразованиях Лоренца. Это означает также, что частица (или, как будет видно в дальнейшем, квантовое поле), описываемая функцией не должна обладать никакими другими степенями свободы, помимо трансляций в пространстве — времени. В частности, уравнение Клейна Гордона (без добавления дополнительных уравнений) может описывать только частицы нулевого спина, такие, как или -мезоны.

Заменяя на Е в выражении (16.5 а), мы получаем

    (16.11)

В нерелятивистском приближении сводятся к нерелятивистским выражениям для плотности и тока вероятности. Однако в общем случае ни нельзя интерпретировать как плотность вероятности, ни функцию нельзя рассматривать как амплитуду вероятности найти частицу в данной точке пространства. Это видно из того, что выражение (16.5 а) может принимать как положительные, так и отрицательные значения, тогда как плотность вероятности должна быть величиной неотрицательной. Неопределенность знака выражения (16.5 а) проистекает из того обстоятельства, что как так и могут (и должны) быть заданы произвольно в начальный момент времени иначе нельзя определить решение так как уравнение Клейна — Гордона — второго порядка по времени, а не первого, как нерелятивистское уравнение Шредингера. Поэтому если выражение (16.5 а) положительно при некотором значении то вследствие произвольности выбора производной по времени значение также будет приемлемым, и при таком выборе величина станет отрицательной. Так как в уравнение (16.3) входит вторая производная по времени, то для того, чтобы удовлетворить уравнению непрерывности (16.4), величина должна содержать первую производную. Из формулы (16.11) видно, что может принять отрицательное значение из-за существования решений с отрицательной энергией. Дальнейшим следствием описанных свойств уравнения Клейна — Гордона является то, что теряет силу квантовомеханический постулат, согласно которому волновая функция определяется своим начальным значением в некоторый момент времени.

Из-за этих затруднений от уравнения Клейна — Гордона сначала отказались. Правильную интерпретацию уравнения Клейна — Гордона дали Паули и Вейсскопф [38]. Они предложили рассматривать это уравнение как классическое уравнение поля (подобно уравнениям

электромагнитного поля) и затем проквантовать его; мы рассмотрим эту программу в гл. 19. Тогда становится разумной интерпретация величин как плотностей заряда и тока частиц — квантов этого поля.

Для свободной частицы нет нужды рассматривать решения с отрицательной энергией, ибо если энергия свободной частицы превышает то частица никогда не сможет перейти в состояние с энергией, меньшей . В этом случае величина остается положительно определенной, и возникает вопрос, возможна ли тогда вероятностная интерпретация. Эта проблема была исследована Ньютоном и Вигнером [60], которые дали положительный ответ, но установили, что при этом собственные функции оператора координаты будут уже не дельтообразны. Вместо появятся довольно сложные функции, описывающие частицу, не локализованную в точке, а размазанную по области с размерами порядка

В присутствии внешних полей возможны переходы в состояния с отрицательной энергией Е. Такие состояния, согласно теории Паули и Вейсскопфа, следует понимать как состояния частиц с положительной энергией, но с отрицательным зарядом (если положительные значения Е соответствуют положительному заряду). Переходы из состояния с в состояние с интерпретируются как рождение (или уничтожение) пары частиц с зарядами противоположных знаков. Мы обсудим этот вопрос более подробно в гл. 18 в связи с уравнением Дирака.

Взаимодействие с внешним электромагнитным полем

Чтобы учесть влияние электромагнитного поля, задаваемого потенциалами проделаем обычную замену

    (16.12)

Получим

В результате подстановки

    (16.14)

уравнение (16.13) сводится к следующему:

Считая, что

и пренебрегая энергией по сравнению с получаем

    (16.15)

Это есть не что иное, как нерелятивистское уравнение Шредингера с электромагнитным полем. Можно показать, что при градиентном преобразовании функция приобретает лишь фазовый множитель , где - произвольная функция. Если в уравнение надо включить еще потенциалы других типов, то прежде всего нужно определить их свойства относительно преобразования Лоренца. Если они ведут себя как 4-векторы, то их следует добавить к . Если же они преобразуются как релятивистские скаляры, то их можно включить в член .

Кулоновское поле

Полагая

    (16.16)

мы получаем из уравнения (16.13)

Последнее уравнение описывает поведение бесспиновой частицы в кулоновском поле. Оно не относится к атому водорода, так как электрон обладает спином

Уравнение (16.17) похоже на уравнение Шредингера для атома водорода, отличаясь от него тем, что из вычитается релятивистский поправочный член Заметим, что Однако величина X не мала, так как у входит в нее вместе с большим множителем

Для малых радиусов мы имеем где

    (16.18)

В нерелятивистском пределе откуда следует вывод, что надо рассматривать только значение Правильность этого вывода неочевидна, так как при и мы имеем так что R расходится. Следовательно, надо дополнительно обсудить условие конечности волновых функций.

Как видно из сказанного, нельзя потребовать, чтобы волновая функция была всюду конечной. Разумно потребовать, чтобы она была нормируемой, т. е. чтобы интеграл был конечным. Это накладывает ограничение Ясно, что оно удовлетворяется для . К сожалению, это условие удовлетворяется также и для S— при (а также и при больших числах для достаточно больших значений но эти большие ляются нефизическими, как мы увидим ниже).

Достаточно сильное ограничение можно получить, потребовав, чтобы были конечными матричные элементы кинетической энергии. Как следует из уравнения (16.17), соответствующее условие имеет вид

    (16.19)

Отсюда следует неравенство . Оно удовлетворяется только для . Условие (16.19) сохраняет силу также и в нерелятивистской теории.

Таким путем мы оставляем одно, и только одно, решение радиального уравнения (16.17) для каждого значения I. Это есть необходимое и достаточное условие того, чтобы решения R образовывали полную, но не «сверхполную» систему.

Из формулы (16.18) видно, что число s становится комплексным при . Такое комплексное значение s неприемлемо, так как тогда на малых расстояниях волновая функция ведет себя как

    (16.20)

т. е. совершает здесь бесконечное число колебаний. Далее, условие (16.19) приводит к неравенству которое в рассматриваемом случае не выполняется. Согласно определениям так что для многих из существующих ядер. Далее, мы знаем, что уравнение Клейна — Гордона предполагается справедливым для -мезонов. Разрешение возникающего затруднения состоит в том, что ядра обладают конечными размерами; фактически радиусы больших ядер с в несколько раз превышают комптоновскую длину волны -мезона, , и поэтому особенность (16.20) не появляется.

Дальнейшее решение дифференциального уравнения (16.17) проводится с помощью обычного метода рядов. Требуется, чтобы ряд обрывался на некотором конечном числе членов; это имеет место в том, и только в том, случае, когда

    (16.21)

где — целое отрицательное число. Согласно определениям (16.16), это означает, что

    (16.22)

Полагая и проводя разложение по степеням параметра получаем

Первый член здесь есть энергия покоя, второй представляет собой нерелятивистскую формулу Ридберга для энергии. Третий член дает релятивистскую поправку; он, как видно, снимает вырождение по квантовому числу I. Полное расщепление уровней тонкой структуры, согласно формуле (16.23), равно

    (16.24)

Расщепление, экспериментально наблюдаемое в спектре атома водорода, составляет примерно половину этой величины. Приведенное выше значение расщепления должно было бы наблюдаться в -мезонных атомах (без учета влияния размеров ядра), но никакой экспериментальной проверки здесь не имеется.