3. ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ ЧАСТИЦ И СИММЕТРИЯ

Гамильтониан системы из тождественных частиц, т. е. частиц, которые можно заменять друг на друга без каких-либо физических изменений, должен быть совершенно симметричен относительно любой перестановки своих аргументов. Обозначим через любое решение уравнения Шредингера, зависящее от пространственных и спиновых координат тождественных частиц (нумеруемых числами . Пусть Р есть любая перестановка чисел от 1 до . Тогда функция зависит от координат частицы точно так же, как первоначальная функция зависела от координат частицы . Оператор Р коммутирует с гамильтонианом

Поэтому, если W есть решение уравнения Шредингера, то и также будет некоторым решением (оно принадлежит тому же собственному значению, что и , если решение стационарно). Всего таким путем мы получим волновых функций, так как существует различных перестановок объектов. Некоторые из этих функций могут быть (и обычно являются) линейными комбинациями остальных, но, как правило, таким путем мы найдем и несколько линейно независимых решений. Таким образом, в случае гамильтониана, симметричного по частицам, большинство собственных значений будет вырождено. Это явление, называемое обменным вырождением, будет более подробно рассмотрено ниже.

Некоторые собственные значения гамильтониана Н будут невырождены. Для таких собственных значений Функции отличаются друг от друга лишь множителем, так как, по условию, данному собственному

значению не могут отвечать две линейно независимые функции. Кроме того, поскольку функции одинаково нормированы,

где а — вещественная величина. Рассмотрим теперь простейшую перестановку меняющую местами частицы,

Применяя эту перестановку дважды, мы возвращаемся к исходной функции, поэтому с учетом формулы (3.2) мы получаем и, следовательно,

Установленный многими наблюдениями экспериментальный факт состоит в том, что все фактически существующие в физике волновые функции удовлетворяют соотношению (3.4) либо со знаком плюс, либо со знаком минус. Иными словами, из огромного числа математических решений уравнения природа отбирает только невырожденные. Свойства невырожденных решений зависят от того, какой знак выбран в формуле (3.4); знак плюс приводит к волновой функции, симметричной по всем частицам, знак минус соответствует антисимметричной волновой функции.

Выбор той или иной симметрии зависит от типа рассматриваемых тождественных частиц: опыт показывает, что волновая функция антисимметрична для электронов, протонов, нейтронов, -мезонов, гиперонов и симметрична для -мезонов, -мезонов и фотонов. В состав системы может входить и несколько типов частиц, например протоны, нейтроны и -мезоны. В таком случае ее волновая функция изменит знак, если мы переставим координаты любых двух протонов или любых двух нейтронов, но она останется неизменной, если мы переставим два -мезона; наконец, если мы переставим координаты двух частиц различного типа, например протона

и нейтрона, то результирующая волновая функция не будет, вообще говоря, простым образом связана с исходной.

Доводы в пользу простой симметрии

Как мы уже указывали, определенная симметрия волновой функции, например антисимметрия по координатам всех электронов системы, не вытекает из симметрии гамильтониана, а является дополнительным требованием, отбирающим физически различные решения среди намного большего числа математически возможных решений уравнения Шредингера. Приведем теперь некоторые соображения в пользу именно такой «простой» симметрии физических решений.

Если волновая функция обладает какой-либо симметрией в начальный момент, то она будет обладать той же симметрией и во все последующие моменты времени. Это немедленно следует из того факта, что оператор коммутирует с гамильтонианом Н; оператор поэтому не зависит от времени и представляется матрицей, не зависящей от времени. Это означает, что выражение имеет ту же симметрию по отношению к любой перестановке Р, что и сама волновая функция следовательно, производная имеет такую же симметрию, и, интегрируя уравнение Шредингера по последовательным малым интервалам времени, мы видим, что функция Ч сохраняет во времени свою начальную симметрию. (Это рассуждение применимо также и к вырожденным решениям, симметрия которых, как показано ниже, может быть сложной.) Таким образом, если «вначале» волновая функция вселенной была антисимметрична по всем электронам, она останется таковой и во все времена. (Вышеизложенное не является доводом в пользу простой симметрии. Показано лишь, что утверждения, касающиеся симметрии, имеют разумный смысл.)

Прежде всего постулируем, что все физические свойства, определяемые волновой функцией системы, не меняются при перестановке двух тождественных частиц. Такое понимание термина «тождественность» имеет

точный смысл. Оно означает, что имеет место равенство , эквивалентное соотношению (3.2) и, следовательно, приводящее к формуле (3:4).

Для дальнейшего надо исследовать другие возможные типы симметрии волновой функции, помимо полной симметрии или антисимметрии. Для этой цели проще всего рассматривать приближенный гамильтониан, который будет также весьма полезен при изучении атомов. Именно, пусть гамильтониан представляется в виде суммы членов, каждый из которых относится к одной отдельной частице,

Пусть и т. д. суть нормированные собственные функции оператора Но, так что

Тогда возможная собственная функция гамильтониана Но будет иметь вид

Эта функция соответствует собственному значению

В самом деле, оператор коммутирует с функциями от всех координат, кроме координат 1-й частицы. Наряду с функцией (3.7) функция

где Р — произвольная перестановка чисел , также является собственной функцией отвечающей тому же самому собственному значению (3.8). (С тем же успехом можно было бы переставлять не аргументы, а сами функции и т. д.). Так как общее число перестановок равно то формула (3.9) дает линейно независимых собственных функций, если только все одночастичные функции различны. Эти одно частичные функции иногда называют орбиталями).

Все функций оказываются вырожденными. Это явление называется обменным вырождением. Эти функции антисимметричны; составляя линейные комбинации их, мы можем получить функции более симметричного вида. Однако полностью симметричной и антисимметричной будут только две функции. Остающиеся линейные комбинации должны поэтому обладать меньшей симметрией. Только в специальном (но важном) случае симметричная и антисимметричная функции действительно исчерпывают все линейно независимые комбинации.

Чтобы проиллюстрировать другие возможные типы симметрии, достаточно рассмотреть случай трех частиц с двумя одинаковыми орбиталями. В этом случае мы имеем три функции:

Полностью симметричная нормированная функция (3.11 а)

Полностью антисимметричной функции в данном случае не существует. Две другие нормированные линейные комбинации, ортогональные к , имеют вид

    (3.116)

Очевидно, что функция симметрична, а антисимметрична относительно перестановки второй и третьей частиц. Применив к функции 44 перестановку , мы получим

(аналогично для величины и т. д.). Итак, функции и очевидным образом связаны друг с другом: перестановки преобразуют каждую из них в их линейные комбинации. Эти перестановки представляются

матрицами размерности в «подпространстве» функций Ч, Ч. Симметричная функция стоит особняком. Она преобразуется сама в себя при любой перестановке Р, так что в подпространстве все перестановки представляются матрицами размерности 1 X 1, т. е. просто единицей.

Проблему матричного представления перестановок лучше всего исследовать с помощью теории групп. Такое изучение было проведено Вигнером и его сотрудниками в конце двадцатых годов [54]. При этом матричное представление группы перестановок было обобщено на случай произвольного гамильтониана , который уже не разделяется на одночастичные гамильтонианы (подобно ), но, конечно, остается симметричным по всем частицам. В случае симметричного гамильтониана общего вида, описывающего три частицы, для решений, соответствующих двум одинаковым и одному отличному одночастичным состояниям, получаются два типа собственных функций: первый тип — полностью симметричные функции, подобные , причем такие собственные функции оказываются невырожденными; другой тип — всегда двукратно вырожденные функции, преобразующиеся при перестановках подобно [см. (3.12)]. Для гамильтониана общего вида дважды вырожденные собственные значения, как правило, отличаются от невырожденных, соответствующих полностью симметричным собственным функциям; совпадение этих собственных значений могло бы произойти лишь в силу чистой случайности (в противоположность простому гамильтониану Но). Таким образом, обменное вырождение (кратность которого равна ) частично снимается при переходе от Я о к Я, но некоторое вырождение все же остается. Этот результат справедлив и в общем случае для любого числа частиц и независимо от того, совпадают или нет какие-либо из одночастичных состояний. Таким образом, с математической точки зрения уравнение Шредингера для тождественных частиц имеет много решений различной симметрии, и большинство его собственных значений вырождено.

Теперь можно привести второй аргумент в пользу того, что физические решения должны быть либо полностью

симметричны, либо полностью антисимметричны. Пусть волновая функция вселенной обладает одной из сложных симметрий, которые мы только что рассмотрели применительно к электронам. Это значит, что названная волновая функция будет симметричной по отношению к перестановке местами некоторых пар электронов и антисимметричной по отношению к перестановке других пар и будет сохранять эту симметрию во времени. Рассмотрим два атома гелия, из которых один содержит два электрона с симметричной волновой функцией, а другой — с антисимметричной. Эти два атома будут иметь различные собственные значения энергии, а следовательно, и различные оптические спектры. Таким образом, мы должны были бы находить в природе два различных типа атомов гелия и еще большее разнообразие любых более тяжелых атомов, например атомов углерода. Но мы знаем, что все атомы с данным зарядом ядра одинаковы как с точки зрения химии, так и с точки зрения спектроскопии. Следовательно, в определенном атоме может быть допустима лишь одна симметрия волновой функции электронов, а это означает, что волновая функция вселенной должна обладать одной из простых симметрий, т. е. быть либо полностью симметричной, либо полностью антисимметричной.

Чтобы прийти к этому выводу, нам пришлось апеллировать к опыту. Мы воспользовались простым, давно установленным фактом — тождественностью поведения всех атомов одного и того же химического элемента. Поскольку атомы представляют собой сложные системы, содержащие электроны, из тождественности их физического поведения следует, что симметрия волновой функции по отношению ко всем электронам во вселенной является простой. Какая именно симметрия имеет здесь место, т. е. является ли волновая функция полностью симметричной или полностью антисимметричной, таким простым путем установить нельзя. Для ответа на этот вопрос требуется более детальная информация. Подобные же соображения устанавливают простую симметрию и по отношению к другим элементарным частицам, например протонам и нейтронам.

Симметрия сложных систем

Ниже будет показано, что частицы, описываемые симметричной волновой функцией, подчиняются статистике Бозе, а частицы, описываемые антисимметричной волновой функцией, — статистике Ферми. Поэтому их обычно называют соответственно бозонами и фермионами. Рассмотрим теперь прочно связанный сложный объект, вроде атомного ядра. Тогда имеет смысл вопрос о симметрии волновой функции системы, содержащей много тождественных объектов такого типа, например много ядер . Ответ можно получить, если мысленно представить себе, что перестановка двух сложных систем осуществляется последовательной перестановкой входящих в их состав элементарных частиц.

Каждая перестановка фермионов меняет знак волновой функции. Следовательно, сложная система будет фермионом тогда и только тогда, когда она содержит нечетное число фермионов; такая система будет бозоном, если число фермионов в ней четно. Число бозонов, содержащихся в сложной системе, не играет роли. Если волновая функция содержит координаты нескольких типов частиц, то определенная симметрия существует лишь по отношению к перестановкам частиц каждого отдельного типа.

Построение симметризованных волновых функций

Подходящим образом симметризованную (ненормированную) волновую функцию для тождественных частиц можно построить из одного несимметричного решения. Для этой цели, переставляя индексы, получим решений и образуем суммы

Здесь суммирование ведется по всем перестановкам, а величина для нечетных перестановок и для четных перестановок. Нечетной перестановкой называется

такая, которую можно получить в результате нечетного числа простых перемен местами пар частиц. Видно, что выражение (3.13) описывает симметричную волновую функцию, а выражение (3.14) — антисимметричную.

В случае системы из тождественных частиц со слабым взаимодействием между ними гамильтониан определяемый выражением (3.5), представляет собой хорошее приближение к истинному гамильтониану, а волновая функция -хорошее приближение к истинной собственной функции системы. Поэтому мы можем составить симметричную или антисимметричную волновую функцию, воспользовавшись соответственно формулами (3.13) и (3.14). Нормированную антисимметричную функцию удобно записать в виде детерминанта из строк и столбцов, так называемого детерминанта Слэтера,

Перемена мест двух координат приведет к перестановке двух столбцов и изменит знак детерминанта. Тем самым будет обеспечена требуемая антисимметрия. Кроме того, перестановка двух состояний, т. е. двух одночастичных функций, переставит местами две строки, что также изменит знак детерминанта. Поэтому детерминант обратится в нуль, если две частицы находятся в одинаковом состоянии, т. е. если две одночастичные функции совпадают. Это следуе! также и из хорошо известной теоремы о том, что детерминант с двумя одинаковыми строками должен обращаться в нуль. Тем самым доказан знаменитый принцип исключения Паули, который утверждает, что в данной системе никакие два электрона не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Этот принцип был постулирован Паули в 1924 г. для объяснения периодической таблицы элементов.

В квантовой механике он автоматически вытекает из свойства антисимметрии волновой функции. Наоборот, зная о существовании периодической системы, мы должны заключить, что собственная функция электрона должна быть антисимметричной, а не симметричной.

Статистическая механика

Для системы слабо взаимодействующих частиц нет необходимости записывать волновую функцию в явном виде, как это сделано выше [см. формулу (3.15)]. Достаточно лишь указать, какие одночастичные состояния заняты частицами и сколько частиц приходится на одно состояние. Это — метод статистической механики: задаются «числа заполнения» одночастичных состояний . Если волновая функция антисимметрична, то возможны лишь значения: ; этот тип статистики впервые был постулирован Ферми и носит его имя, поэтому и частицы, подчиняющиеся такой статистике, называются фермионами. В случае симметричной волновой функции возможны любые значения чисел заполнения; этот факт известен как статистика Бозе (бозоны). Для любого заданного набора чисел заполнения возможна одна и только одна симметричная волновая функция, следовательно, в статистике Бозе все такие наборы имеют одинаковый статистический вес, равный единице.

Выше уже были названы частицы, которые на опыте оказались фермионами. Заметим теперь, что все они имеют спин 1/2. Подобным же образом, все бозоны имеют спин и -мезоны) или 1 (фотоны). Паули [50] показал, что релятивистские теории могут быть непротиворечивы, только если частицы с полуцелым спином являются фермионами, а с целым спином — бозонами.

Экспериментальное определение симметрии

Характер симметрии волновой функции приводит к непосредственно наблюдаемым физическим следствиям. Вероятно, наибольшую информацию в этом отношении дает волновая функция пространственного движения

двух ядер в молекуле из одинаковых ядер, такой, как . Легко показать (см., например, [8]), что вращательные состояния такой молекулы могут характеризоваться только четным моментом количества движения если ядра суть бозоны без спина, и только нечетным если ядра — бесспиновые фермионы (если бы такие объекты существовали). Наблюдение полос вращательного спектра действительно показывает, что молекула имеет только четные вращательные состояния, следовательно, ядро является бозоном. Что еще важнее, эти наблюдения показывают, что все ядра совершенно тождественны. Те же наблюдения можно провести, например, с молекулами типа в составе которых есть два радиоактивных ядра . Опыт показывает, что все ядра тождественны, поскольку вращательный спектр как раз такой, какого следует ожидать для фермионов со спином . Если бы ядра не были тождественны, то волновая функция была бы асимметрична по их координатам и все значения вращательных квантовых чисел были бы равновероятны. Далее, ядро радиоактивно и распадается на ядро и -частицу с периодом полураспада 12 лет. При этом два ядра в молекуле распадутся, вообще говоря, в различные моменты времени. И тем не менее прямой опыт показывает, что эти ядра тождественны; таким образом, не существует «скрытых переменных» ядра, которые указывают, когда именно ядро распадется. Если бы такие переменные существовали, то даже при условии, что они не оказывают никакого влияния на энергию и динамику системы, они все же проявлялись бы в симметрии волновой функции. Квантовая механика действительно дает нам особый прием для установления тождественности частиц, не сводящийся просто к констатации факта отсутствия наблюдаемых различий между ними.

В последние 10 лет предпринимались попытки заменить вероятностные предсказания квантовой механики строго причинными. Предполагалось (Бом, де-Бройль),

что существуют скрытые переменные, в терминах которых может быть проведено такое «причинное» описание. Эти переменные являются «скрытыми» в том смысле, что они не влияют на собственные значения энергии системы. Существование тождественных частиц и сложных систем показывает, однако, что такие скрытые переменные не могут привести к каким-либо наблюдаемым следствиям (как в только что рассмотренном примере) и потому являются бессодержательными. Это убеждает нас в том, что существующее описание должно быть полным.

Тот факт, что для описания возможных состояний не нужно вводить никаких дополнительных квантовых чисел, особенно ясно виден в случае электронов. Если бы существовали какие-то неучтенные нами степени свободы, то следовало бы ожидать, что в природе можно найти электроны, описываемые различными значениями этих скрытых переменных. Иными словами, наблюдаемая степень вырождения электронных состояний была бы больше, чем предсказываемая на основании существующей теории. Блестящий успех в объяснении периодической системы элементов в рамках существующей теории показывает, однако, что это не так, т. е. никаких дополнительных степеней свободы не существует.

Другим применением симметрии волновой функции вращательного движения двухатомной молекулы из одинаковых атомов было определение статистики ядер, входящих в ее состав. В частности, Разетти [9] нашел, что ядро подчиняется статистике Бозе. Это помогло опровергнуть гипотезу «ядерных электронов», которая утверждала, что ядро состоит из 14 протонов и 7 электронов (при этом оно должно было бы подчиняться статистике Ферми [8]).

Симметрия волновой функции играет большую роль в статистической механике. Так, статистика Ферми для электронов играет решающую роль для понимания поведения металлов. Бозе-статистика атомов нуклона и 2 электрона) приводит к особым свойствам «жидкого (гелия II) при низких температурах (сверхтекучесть). Атом представляет собой фермион, и соответственно жидкий ведет себя иначе.

Классический предел

Рассмотрим теперь поведение системы тождественных частиц в предельном случае классической механики. Единственный способ различить классические тождественные частицы состоит в том, чтобы проследить за их траекториями, которые, конечно, четко определены. Именно отсутствие четко определенных траекторий для частиц, подчиняющихся квантовой механике, приводит к обменным эффектам. В частности, если волновые функции двух частиц перекрываются в пространстве, мы не можем более различить их траектории. В классическом пределе функции, описывающие состояния частиц, превращаются в неперекрывающиеся волновые пакеты. Строго говоря, если две частицы описываются функцией

то плотность вероятности их координат будет

Если функция обращается в нуль, когда координата 1 находится вне определенной области А, а координата 2 — вне области В, причем области А и В не перекрываются, то интерференционный член пропадает. В этом случае плотность вероятности координат становится такой же, как и для различимых частиц. Следовательно, при классическом описании мы не обнаружим никаких обменных эффектов.

Следует представлять себе, что даже при неклассическом описании тождественные частицы могут быть различимы, если их волновые функции не перекрываются, т. е. если они находятся в состояниях, различающихся достаточно сильно. Если же волновые функции перекрываются, то в выражении (3.17) появляется «обменная плотность», которая приводит к наблюдаемым следствиям. Так, например, при рассеянии друг на друге двух тождественных частиц их волновые функции в течение некоторого времени перекрываются и свойства симметрии волновой функции приводят к возникновению интерференционных членов.